Giải bài tập 1.21 trang 32

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) (y = - {x^3} + 3x + 1); b) (y = {x^3} + 3{x^2} - x - 1).

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = - x^{3} + 3 x + 1$ ;

b) $y = x^{3} + 3 x^{2} - x - 1$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sơ đồ khảo sát hàm số bậc ba:

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

+ Tính đạo hàm y’. Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

+ Xét dấu y’ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.

+ Tìm cực trị của hàm số.

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực.

+ Lập bảng biến thiên của hàm số.

3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D = R$ .

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y^{'} = - 3 x^{2} + 3, y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$ .

Trên khoảng $(- 1; 1)$ , $y^{'} > 0$ nên hàm số đồng biến. Trên khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty)$ , $y^{'} < 0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ , giá trị cực đại $y_{C Đ} = 3$ . Hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 1$ , giá trị cực tiểu $y_{C T} = - 1$ .

Giới hạn tại vô cực:

$lim_{x \to - \infty} y = lim_{x \to - \infty} (- x^{3} + 3 x + 1)$

$= lim_{x \to - \infty} [x^{3} (- 1 + \frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}})] = + \infty$ ;

$lim_{x \to + \infty} y = lim_{x \to + \infty} (- x^{3} + 3 x + 1)$

$= lim_{x \to + \infty} [x^{3} (- 1 + \frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}})] = - \infty$ .

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y = - x^{3} + 3 x + 1$ với trục tung là (0; 1).

Các điểm (1; 3); (-1; 1) thuộc đồ thị hàm số $y = - x^{3} + 3 x + 1$ .

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (0; 1).

b) 1. Tập xác định: $D = R$ .

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} + 6 x - 1$ ;

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{- 3 - 2 \sqrt{3}}{3}$ hoặc $x = \frac{- 3 + 2 \sqrt{3}}{3}$ .

Trên khoảng $(\frac{- 3 - 2 \sqrt{3}}{3}; \frac{- 3 + 2 \sqrt{3}}{3})$ , $y^{'} < 0$ nên hàm số nghịch biến. Trên khoảng $(- \infty; \frac{- 3 - 2 \sqrt{3}}{3})$ và $(\frac{- 3 + 2 \sqrt{3}}{3}; + \infty)$ , $y^{'} > 0$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại $x = \frac{- 3 - 2 \sqrt{3}}{3}$ , giá trị cực đại . Hàm số đạt cực tiểu tại $x = \frac{- 3 + 2 \sqrt{3}}{3}$ , giá trị cực tiểu $y_{C T} = \frac{18 - 16 \sqrt{3}}{9}$ .

Giới hạn tại vô cực:

$lim_{x \to - \infty} y = lim_{x \to - \infty} (x^{3} + 3 x^{2} - x - 1)$

$= lim_{x \to - \infty} [x^{3} (1 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}})] = - \infty$ ;

$lim_{x \to + \infty} y = lim_{x \to + \infty} (x^{3} + 3 x^{2} - x - 1)$

$= lim_{x \to + \infty} [x^{3} (1 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}})] = + \infty$ .

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} - x - 1$ với trục tung là (0; -1).

Các điểm (-1; 2); (1; 2) thuộc đồ thị hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} - x - 1$ .

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (-1; 2).