Giải bài tập 1.21 trang 32

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=-x^3+3x+1$;

b) $y=x^3+3x^2-x-1$.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D=R$.

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y^{\prime }=-3x^2+3,y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$.

Trên khoảng $\left(-1;1\right)$, $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến. Trên khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(1;+\infty \right)$, $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại $x=1$, giá trị cực đại $y_{CĐ}=3$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$, giá trị cực tiểu $y_{CT}=-1$.

Giới hạn tại vô cực:

$\underset{x\to -\infty }{lim}y=\underset{x\to -\infty }{lim}\left(-x^3+3x+1\right)$

$=\underset{x\to -\infty }{lim}\left[x^3\left(-1+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)\right]=+\infty$;

$\underset{x\to +\infty }{lim}y=\underset{x\to +\infty }{lim}\left(-x^3+3x+1\right)$

$=\underset{x\to +\infty }{lim}\left[x^3\left(-1+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)\right]=-\infty$.

Bảng biến thiên:

 

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y=-x^3+3x+1$ với trục tung là (0; 1).

Các điểm (1; 3); (-1; 1) thuộc đồ thị hàm số $y=-x^3+3x+1$.

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (0; 1).

b) 1. Tập xác định: $D=R$.

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y^{\prime }=3x^2+6x-1$;

$y^{\prime }=0\iff x=\frac{-3-2\sqrt{3}}{3}$ hoặc $x=\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}$.

Trên khoảng $\left(\frac{-3-2\sqrt{3}}{3};\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}\right)$, $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến. Trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{-3-2\sqrt{3}}{3}\right)$ và $\left(\frac{-3+2\sqrt{3}}{3};+\infty \right)$, $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại $x=\frac{-3-2\sqrt{3}}{3}$, giá trị cực đại . Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}$, giá trị cực tiểu $y_{CT}=\frac{18-16\sqrt{3}}{9}$.

Giới hạn tại vô cực:

$\underset{x\to -\infty }{lim}y=\underset{x\to -\infty }{lim}\left(x^3+3x^2-x-1\right)$

$=\underset{x\to -\infty }{lim}\left[x^3\left(1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}\right)\right]=-\infty$;

$\underset{x\to +\infty }{lim}y=\underset{x\to +\infty }{lim}\left(x^3+3x^2-x-1\right)$

$=\underset{x\to +\infty }{lim}\left[x^3\left(1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}\right)\right]=+\infty$.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2-x-1$ với trục tung là (0; -1).

Các điểm (-1; 2); (1; 2) thuộc đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2-x-1$.

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (-1; 2).