Giải bài tập 1.21 trang 34

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y=x−22x+1y=x−22x+1y = \frac{{x - 2}}{{2x + 1}} b) y=1−2x2x+4y=1−2x2x+4y = \frac{{1 - 2x}}{{2x + 4}}

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) $y = \frac{x - 2}{2 x + 1}$

b) $y = \frac{1 - 2 x}{2 x + 4}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tìm tập xác định của hàm số

- Xét sự biến thiên của hàm số

- Vẽ đồ thị hàm số

Lời giải chi tiết

- Tập xác định: $D = R ∖ {- \frac{1}{2}}$

- Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

$lim_{x \to + \infty} f (x) = lim_{x \to + \infty} \frac{x - 2}{2 x + 1} = \frac{1}{2}$

$lim_{x \to - \infty} f (x) = lim_{x \to - \infty} \frac{x - 2}{2 x + 1} = \frac{1}{2}$

Suy ra đường thẳng $y = \frac{1}{2}$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho

$lim_{x \to {\frac{- 1}{2}}^{+}} f (x) = lim_{x \to {\frac{- 1}{2}}^{+}} \frac{x - 2}{2 x + 1} = - \infty$

$lim_{x \to {\frac{- 1}{2}}^{-}} f (x) = lim_{x \to {\frac{- 1}{2}}^{-}} \frac{x - 2}{2 x + 1} = \infty$

Suy ra đường thẳng $x = \frac{- 1}{2}$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Ta có: $y^{'} = \frac{5}{{(2 x + 1)}^{2}} > 0 \forall x \in R$

Suy ra hàm số đồng biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị

Tiệm cận đứng: $x = - \frac{1}{2}$ và tiệm cận ngang $y = \frac{1}{2}$

Giao với trục Oy tại điểm (0,-2)

Giao với trục Ox tại điểm (2,0)

- Tập xác định: $D = R ∖ {- 2}$

- Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

$lim_{x \to + \infty} f (x) = lim_{x \to + \infty} \frac{1 - 2 x}{2 x + 4} = - 1$

$lim_{x \to - \infty} f (x) = lim_{x \to - \infty} \frac{1 - 2 x}{2 x + 4} = - 1$

Suy ra đường thẳng $y = - 1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho

$lim_{x \to - 2^{+}} f (x) = lim_{x \to - 2^{+}} \frac{1 - 2 x}{2 x + 4} = \infty$

$lim_{x \to - 2^{-}} f (x) = lim_{x \to - 2^{-}} \frac{1 - 2 x}{2 x + 4} = - \infty$

Suy ra đường thẳng $x = - 2$ . là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Ta có: $y^{'} = \frac{- 10}{{(2 x + 4)}^{2}} < 0 \forall x \in R$

Suy ra hàm số nghịch biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị

Tiệm cận đứng: $x = - 2$ và tiệm cận ngang $y = - 1$

Giao với trục Oy tại điểm (0, $\frac{1}{4}$ )

Giao với trục Ox tại điểm ( $\frac{1}{2}$ ,0)