Giải bài tập 1.21 trang 34

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) $y=\frac{x-2}{2x+1}$

b) $y=\frac{1-2x}{2x+4}$

Lời giải chi tiết

a)

- Tập xác định: $D=R\setminus \{-\frac{1}{2}\}$

- Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{x-2}{2x+1}=\frac{1}{2}$

$\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{x-2}{2x+1}=\frac{1}{2}$

Suy ra đường thẳng $y=\frac{1}{2}$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho

$\underset{x\to {\frac{-1}{2}}^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to {\frac{-1}{2}}^{+}}{lim}\frac{x-2}{2x+1}=-\infty$

$\underset{x\to {\frac{-1}{2}}^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to {\frac{-1}{2}}^{-}}{lim}\frac{x-2}{2x+1}=\infty$

Suy ra đường thẳng $x=\frac{-1}{2}$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Ta có: $y^{\prime }=\frac{5}{{(2x+1)}^2}>0\forall x\in R$

Suy ra hàm số đồng biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị

Tiệm cận đứng: $x=-\frac{1}{2}$ và tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$

Giao với trục Oy tại điểm (0,-2)

Giao với trục Ox tại điểm (2,0)

b)

- Tập xác định: $D=R\setminus \{-2\}$

- Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{1-2x}{2x+4}=-1$

$\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{1-2x}{2x+4}=-1$

Suy ra đường thẳng $y=-1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho

$\underset{x\to -2^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{+}}{lim}\frac{1-2x}{2x+4}=\infty$

$\underset{x\to -2^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{-}}{lim}\frac{1-2x}{2x+4}=-\infty$

Suy ra đường thẳng $x=-2$. là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Ta có: $y^{\prime }=\frac{-10}{{(2x+4)}^2}<0\forall x\in R$

Suy ra hàm số nghịch biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị

Tiệm cận đứng: $x=-2$ và tiệm cận ngang $y=-1$

Giao với trục Oy tại điểm (0,$\frac{1}{4}$)

Giao với trục Ox tại điểm ($\frac{1}{2}$,0)