Giải bài tập 1.22 trang 34

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây:

a) $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$

b) $y=\frac{x^2-2x-3}{x-2}$

c)$y=-x+1+\frac{1}{x+1}$

d)$y=\frac{2x^2-x+1}{1-x}$

Lời giải chi tiết

a)

- Tập xác định: D = R \ {-1}.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

$\underset{x\to -1^{+}}{lim}y=\underset{x\to -1^{+}}{lim}\left(\frac{x^2+2x+2}{x+1}\right)=\underset{x\to -1^{+}}{lim}\left(\frac{{(x+1)}^2+1}{x+1}\right)=\underset{x\to -1^{+}}{lim}\left[x+1+\frac{1}{x+1}\right]=\infty$

$$\underset{x\to -1^{-}}{lim}y=\underset{x\to -1^{-}}{lim}\left(\frac{x^2+2x+2}{x+1}\right)=\underset{x\to -1^{-}}{lim}\left[x+1+\frac{1}{x+1}\right]=\infty$$

Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số

$\underset{x\to \infty }{lim}y=\underset{x\to \infty }{lim}\left(\frac{x^2+2x+2}{x+1}\right)=\underset{x\to \infty }{lim}(x+1)+0=\infty$

$\underset{x\to -\infty }{lim}y=\underset{x\to -\infty }{lim}\left(\frac{x^2+2x+2}{x+1}\right)=\underset{x\to -\infty }{lim}(x+1)+0=-\infty$

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

$\frac{x^2+2x+2}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$

Khi $x\to \pm \infty ,\frac{1}{x+1}\to 0$ nên $y=x+1$ là tiệm cận xiên của hàm số

Ta có: $y^{\prime }=\frac{(2x+2)(x+1)-\left(x^2+2x+2\right)}{{(x+1)}^2}=\frac{x^2+2x}{{(x+1)}^2}$

$y^{\prime }=0\leftrightarrow x^2+2x\leftrightarrow x(x+2)=0\leftrightarrow x=0,x=-2$

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞,-2) và (-1,0), đồng biến trên khoảng (-2,-1) và (-1,0).

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0,y_{CT}=2$

Hàm số đạt cực đại tại $x=-2,y_{CD}=-2$

- Vẽ đồ thị:

Tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận xiên $y=x+1$

Giao điểm với trục Oy là $(0,2)$

b)

- Tập xác định: D = R \ {2}.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

$\underset{x\to 2+}{lim}y=\underset{x\to 2+}{lim}\left(\frac{x^2-2x-3}{x-2}\right)=\underset{x\to 2^{+}}{lim}\left(\frac{(x-3)(x+1)}{x-2}\right)=-\infty$

$\underset{x\to 2^{-}}{lim}y=\underset{x\to 2^{-}}{lim}\left(\frac{x^2-2x-3}{x-2}\right)=\underset{x\to 2^{-}}{lim}\left(\frac{(x-3)(x+1)}{x-2}\right)=\infty$

Suy ra x = 2 là tiệm cận đứng của hàm số

$\underset{x\to \infty }{lim}y=\underset{x\to \infty }{lim}\left(\frac{x^2-2x-3}{x-2}\right)=\underset{x\to \infty }{lim}\left(\frac{(x-3)(x+1)}{x-2}\right)=\infty$

$\underset{x\to -\infty }{lim}y=\underset{x\to -\infty }{lim}\left(\frac{x^2-2x-3}{x-2}\right)=\underset{x\to -\infty }{lim}\left(\frac{(x-3)(x+1)}{x-2}\right)=-\infty$

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

$\frac{x^2-2x-3}{x-2}=x+\frac{-3}{x-2}$

_Khi $x\to \pm \infty ,\frac{-3}{x-2}\to 0$ _nên $y=x$ _{là tiệm cận xiên của hàm số}

_{Ta có:} $y^{\prime }=\frac{(2x-2)(x-2)-\left(x^2-2x-3\right)}{{(x-2)}^2}=\frac{x^2-4x+7}{{(x-2)}^2}>0\forall x\in D$

Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên khoảng (-$\infty ,2$) và (2, $\infty$).

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị:

Tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận xiên y = x.

Giao điểm với trục Oy là (0,$\frac{3}{2}$)

Giao điểm với trục Ox là (-1,0) và (3,0)

c)

- Tập xác định: D = R \ {-1}.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

$\underset{x\to -1^{+}}{lim}y=\underset{x\to -1^{+}}{lim}\left(-x-1+\frac{1}{x+1}\right)=\infty$

$\underset{x\to -1^{-}}{lim}y=\underset{x\to -1^{-}}{lim}\left(-x-1+\frac{1}{x+1}\right)=-\infty$

Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số

$\underset{x\to \infty }{lim}y=\underset{x\to \infty }{lim}\left(-x-1+\frac{1}{x+1}\right)=-\infty$

$\underset{x\to -\infty }{lim}y=\underset{x\to -\infty }{lim}\left(-x-1+\frac{1}{x+1}\right)=\infty$

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

_Khi $x\to \pm \infty ,\frac{1}{x+1}\to 0$ _nên $y=-x-1$ _{là tiệm cận xiên của hàm số}

_{Ta có:} $y^{\prime }=-1-\frac{1}{{(x+1)}^2}<0\forall x\in D$

Vậy hàm số nghịch biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên khoảng (-$\infty$,-1).và (-1, $\infty$).

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị:

Tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận xiên y =- x-1.

Đi qua gốc toạ độ O(0,0) và giao với trục hoành tại điểm (-2,0)

d)

- Tập xác định: D = R \ {1}.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

$\underset{x\to 1^{+}}{lim}y=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\left(\frac{2x^2-x+1}{1-x}\right)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\left(\frac{(2x+1)(x-1)+2}{1-x}\right)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\left(-2x-1+\frac{2}{1-x}\right)=-\infty$

$\underset{x\to 1^{-}}{lim}y=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\left(\frac{2x^2-x+1}{1-x}\right)=\infty$

Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số

$\underset{x\to \infty }{lim}y=\underset{x\to \infty }{lim}\left(\frac{2x^2-x+1}{1-x}\right)=-\infty$

$\underset{x\to -\infty }{lim}y=\underset{x\to -\infty }{lim}\left(\frac{2x^2-x+1}{1-x}\right)=\infty$

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

_Khi $x\to \pm \infty ,\frac{2}{1-x}\to 0$ _nên $y=-2x-1$ _{là tiệm cận xiên của hàm số}

_{Ta có:} $y^{\prime }=\frac{(4x-1)(1-x)+(2x^2-x+1)}{{(1-x)}^2}=\frac{-2x^2+4x}{{(1-x)}^2}$

$y^{\prime }=0\iff -2x^2+4x=0\iff x=0,x=2$

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên khoảng (-$\infty$,0) và (2, $\infty$), đồng biến trên khoảng (0,1) và (1,2).

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0,y_{CT}=1$

Hàm số đạt cực đại tại $x=2,y_{CD}=-7$

- Vẽ đồ thị:

Tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận xiên y =-2x-1.

Giao điểm với trục Oy là (0,1)