Giải bài tập 1.23 trang 32

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x^2-x+4}{x-1}$;

b) $y=\frac{x^2+2x+1}{x+3}$.

Lời giải chi tiết

a) 1. Tập xác định của hàm số: $R\setminus \left\{1\right\}$.

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y=\frac{2x^2-x+4}{x-1}=2x+1+\frac{5}{x-1}$.

$y^{\prime }=2-\frac{5}{{\left(x-1\right)}^2}$;

$y^{\prime }=0\iff x=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$ hoặc $x=\frac{2+\sqrt{10}}{2}$.

Trong khoảng $\left(-\infty ;\frac{2-\sqrt{10}}{2}\right)$ và $\left(\frac{2+\sqrt{10}}{2};+\infty \right)$, $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến.

Trong khoảng $\left(\frac{2-\sqrt{10}}{2};1\right)$ và $\left(1;\frac{2+\sqrt{10}}{2}\right)$, $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến.

Hàm số đạt cực đại tại $x=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$, giá trị cực đại $y_{CĐ}=-2\sqrt{10}+3$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{2+\sqrt{10}}{2}$, giá trị cực tiểu $y_{CT}=2\sqrt{10}+3$.

$\underset{x\to +\infty }{lim}y=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{2x^2-x+4}{x-1}=+\infty$;

$\underset{x\to -\infty }{lim}y=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{2x^2-x+4}{x-1}=-\infty$;

$\underset{x\to 1^{-}}{lim}y=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{2x^2-x+4}{x-1}=-\infty$;

$\underset{x\to 1^{+}}{lim}y=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{2x^2-x+4}{x-1}=+\infty$;

$\underset{x\to +\infty }{lim}\left[y-\left(2x+1\right)\right]$

$=\underset{x\to +\infty }{lim}\left(2x+1+\frac{5}{x-1}-\left(2x+1\right)\right)$

$=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{5}{x-1}=0$;

$\underset{x\to -\infty }{lim}\left[y-\left(2x+1\right)\right]$

$=\underset{x\to -\infty }{lim}\left(2x+1+\frac{5}{x-1}-\left(2x+1\right)\right)$

$=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{5}{x-1}=0$.

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=1$ làm tiệm cận đứng và đường thẳng $y=2x+1$ làm tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

 

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; -4).

Đồ thị hàm số không cắt trục Ox.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 3) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

b) $y=\frac{x^2+2x+1}{x+3}$

1. Tập xác định của hàm số: $R\setminus \left\{-3\right\}$.

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y=\frac{x^2+2x+1}{x+3}=x-1+\frac{4}{x+3}$.

$y^{\prime }=1-\frac{4}{{\left(x+3\right)}^2},y^{\prime }=0\iff x=-1$ hoặc $x=-5$.

Trong khoảng $\left(-\infty ;-5\right)$ và $\left(-1;+\infty \right)$, $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến.

Trong khoảng $\left(-5;-3\right)$ và $\left(-3;-1\right)$, $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến.

Hàm số đạt cực đại tại $x=-5$, giá trị cực đại $y_{CĐ}=-8$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$, giá trị cực tiểu $y_{CT}=0$.

$\underset{x\to +\infty }{lim}y=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{x^2+2x+1}{x+3}=+\infty$;

$\underset{x\to -\infty }{lim}y=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{x^2+2x+1}{x+3}=-\infty$;

$\underset{x\to -3^{-}}{lim}y=\underset{x\to -3^{-}}{lim}\frac{x^2+2x+1}{x+3}=-\infty$;

$\underset{x\to -3^{+}}{lim}y=\underset{x\to -3^{+}}{lim}\frac{x^2+2x+1}{x+3}=+\infty$

$\underset{x\to +\infty }{lim}\left[y-\left(x-1\right)\right]$

$=\underset{x\to +\infty }{lim}\left(x-1+\frac{4}{x+3}-\left(x-1\right)\right)$

$=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{4}{x+3}=0$;

$\underset{x\to -\infty }{lim}\left[y-\left(x-1\right)\right]$

$=\underset{x\to -\infty }{lim}\left(x-1+\frac{4}{x+3}-\left(x-1\right)\right)$

$=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{4}{x+3}=0$.

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=-3$ làm tiệm cận đứng và đường thẳng $y=x-1$ làm tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểmcủa  đồ thị hàm số với trục tung là $\left(0;\frac{1}{3}\right)$.

$y=0\iff \frac{x^2+2x+1}{x+3}=0\iff x=-1$.

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $\left(-1;0\right)$.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm $I\left(-3;-4\right)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.