Giải bài tập 1.23 trang 35

Đề bài

Một người chèo thuyền từ điểm A trên bờ một con sông thẳng, rộng 3 km và muốn đến điểm B, cách bờ đối diện 8 km về phía hạ lưu, càng nhanh càng tốt như Hình 1.39. Người ấy có thể chèo thuyền qua sông đến điểm C rồi chạy bộ đến B, hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến D nào đó giữa C và B rồi chạy bộ đến B. Tốc độ chèo thuyền là 6 km/h và tốc độ chạy bộ là 8 km/h. Tìm thời gian ngắn nhất mà người này có thể đi từ A đến B (bỏ qua vận tốc của nước và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Lời giải chi tiết

- Gọi 𝑥 là khoảng cách từ điểm C đến điểm D (BC≥𝑥≥0).

- Quãng đường từ A đến D là: $\sqrt{3^2+x^2}=\sqrt{9+x^2}$km.

- Thời gian chèo thuyền là: $\frac{\sqrt{9+x^2}}{6}$ giờ.

- Thời gian chạy bộ từ D đến B là:$\frac{8-x}{8}$ giờ.

→ Tổng thời gian: $$T\left(x\right)=\frac{\sqrt{9+x^2}}{6}+\frac{8-x}{8}$$

- Khảo sát hàm số 𝑇(𝑥):

Tính đạo hàm: $T^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{6}\cdot \frac{x}{\sqrt{9+x^2}}-\frac{1}{8}$

Giải phương trình $T^{\prime }\left(x\right)=0$ :

$\begin{array}{c}\frac{x}{6\sqrt{9+x^2}}=\frac{1}{8}\\ \Rightarrow 8x=6\sqrt{9+x^2}\\ \iff 64x^2=36\left(9+x^2\right)\\ \iff 64x^2=324+36x^2\\ \iff 28x^2=324\\ \Rightarrow x=\sqrt{\frac{324}{28}}=\frac{924}{\sqrt{7}}\approx 3.4\end{array}$

Bảng biến thiên:

Thời gian ngắn nhất mà người này có thể đi từ A đến B là 1.33 giờ.