Giải bài tập 1.24 trang 32

Đề bài

Một cốc chứa 30ml dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ 100 mg/ml. Một bình chứa dung dịch KOH khác chứa nồng độ 8 mg/ml được trộn vào cốc.

a) Tính nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn x (ml) từ bình chứa, kí hiệu là C(x).

b) Coi hàm C(x) là hàm số xác định với $x\ge 0$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.

c) Giải thích tại sao nồng độ KOH trong cốc giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 8 mg/ml.

Lời giải chi tiết

a) Khối lượng dung dịch trong cốc sau khi trộn x (ml) KOH từ bình chứa là:

$m=30.100+8x=8x+3000$ (mg).

Thể tích dung dịch trong cốc sau khi trộn x (ml) KOH từ bình chứa là:

$V=30+x$ (ml).

Nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn x (ml) từ bình chứa là:

$C\left(x\right)=\frac{m}{V}=\frac{8x+3000}{30+x}$ (mg/ml).

b) Khảo sát hàm số $y=C\left(x\right)=\frac{8x+3000}{x+30}$ với $x\ge 0$.

1. Tập xác định của hàm số: $\left[0;+\infty \right)$.

2. Sự biến thiên:

$C^{\prime }\left(x\right)=\frac{-2760}{{\left(x+30\right)}^2}<0$, $\forall x\ge 0$.

Hàm số nghịch biến trên $\left(0;+\infty \right)$.

Hàm số không có cực trị.

$\underset{x\to +\infty }{lim}C\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{8x+3000}{x+30}=8$.

Do đó, đồ thị hàm số $y=C\left(x\right)=\frac{8x+3000}{x+30}$ nhận đường thẳng $y=8$ làm tiệm cận ngang (phần bên phải trục Oy).

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 100).

Đồ thị hàm số $y=C\left(x\right)=\frac{8x+3000}{x+30}$ đi qua các điểm (200; 20); $\left(120;\frac{132}{5}\right)$.

 

Đồ thị của hàm số $y=C\left(x\right)=\frac{8x+3000}{x+30}$ với $x\ge 0$ là phần nét màu xanh không bị gạch chéo.

c) Vì $C^{\prime }\left(x\right)=\frac{-2760}{{\left(x+30\right)}^2}<0$, $\forall x\ge 0$ và $\underset{x\to +\infty }{lim}C\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{8x+3000}{x+30}=8$ nên nồng độ KOH trong cốc giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 8 mg/ml.