Giải bài tập 1.24 trang 35

Đề bài

Một chất điểm chuyển động theo quy luật $s\left(t\right)=-t^3+2t-t$, với 𝑡 (đơn vị: giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và 𝑠 (đơn vị: mét) là quãng đường chất điểm di chuyển được trong khoảng thời gian đó.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 𝑠=𝑠(𝑡) trên hệ trục tọa độ 𝑡0𝑠.

b) Trong khoảng thời gian 2 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, chất điểm đạt được vận tốc lớn nhất là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

a)

- Tập xác định: $D=\{x\ge 0,x\in R\}$

- Tính đạo hàm: $s^{\prime }\left(t\right)=-3t^2+4t-1$

Giải phương trình: $s^{\prime }\left(t\right)=0\iff -3t^2+4t-1=0\Rightarrow t_1=1,t_2=\frac{1}{3}$

- Giới hạn

$\underset{t\to \infty }{lim}s\left(t\right)=\underset{t\to \infty }{lim}\left(-t^3+2t^2-t\right)=-\infty$

- Bảng biến thiên:

- Vẽ đồ thị

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0, $\frac{1}{3}$) và (1,∞)

Hàm số đồng biến trên khoảng ($\frac{1}{3}$,1)

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{1}{2},y_{CT}=-\frac{4}{27}$

Hàm số đạt cực đại tại $x=1,y_{CD}=0$

b)

Ta có vận tốc: $v\left(t\right)=s^{\prime }\left(t\right)=-3t^2+4t-1$

Điểm cực trị của vận tốc:

Giải $s^{\prime \prime }\left(t\right)=0$: $-6t+4=0\Rightarrow t=\frac{2}{3}$

 Vận tốc tại các điểm biên và cực trị:

$\begin{array}{c}v\left(0\right)=-{3.0}^2+4.0-1=-1\\ v\left(\frac{2}{3}\right)=-3{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+4\left(\frac{2}{3}\right)-1=-\frac{12}{9}+\frac{8}{3}-1=-\frac{4}{3}+\frac{8}{3}-1=\frac{1}{3}\\ v\left(2\right)=-3\cdot 2^2+4\cdot 2-1=-12+8-1=-5\end{array}$

Vậy, vận tốc lớn nhất trong khoảng thời gian 2 giây là $\frac{1}{3}$ m/s.