Giải bài tập 1.26 trang 36

Đề bài

Người ta cần thiết kế một cái lon có dạng hình trụ có thể tích là 1 lít (Hình 1.41). Tính tỉ lệ chiều cao và bán kính đáy hình trụ này để tổng chi phí làm vỏ lon (bao gồm cả hai đáy) là nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi bán kính đáy là 𝑟 (𝑟 >0) và chiều cao là ℎ (ℎ>0) của hình trụ.

Thể tích hình trụ: $V=\pi r^{2}h=1000\left(c{m}^3\right)$

Diện tích xung quanh của hình trụ là: $A_{xq}=2\pi rh$

Diện tích của hai đáy là: $A_{2đáy}=2\pi r^2$

Tổng diện tích bề mặt: $A=A_{xq}+A_{2d\text{'}ay}=2\pi rh+2\pi r^2=2\pi r.\frac{1000}{\pi r^2}+2\pi r^2=\frac{2000}{r}+2\pi r^2$

Tìm giá trị cực trị: $f\left(r\right)=\frac{2000}{r}+2\pi r^2$

- Tính đạo hàm: $f^{\prime }\left(r\right)=-\frac{2000}{r^2}+4\pi r$

- Cho đạo hàm bằng 0: $-\frac{2000}{r^2}+4\pi r=0\Rightarrow 4\pi r=\frac{2000}{r^2}\Rightarrow r^3=\frac{2000}{4\pi }=\frac{500}{\pi }\Rightarrow r\simeq 5,42\left(cm\right)$

Bảng biến thiên:

Nhận thấy f(r) đạt giá trị nhỏ nhất tại r ≈ 5,42

Vậy để tổng chi phí làm vỏ lon nhỏ nhất thì:

- Bán kính đáy của hình trụ: r ≈ 5,42 cm

- Chiều cao của hình trụ: $h=\frac{1000}{\pi r^2}=\frac{1000}{3,14.{(5,42)}^2}\approx 10,84$cm

- Tỉ lệ chiều cao và bán kính: $\frac{h}{r}\approx \frac{10,84}{5,42}\approx 2$