Giải bài tập 1.26 trang 40

Đề bài

Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm t (giây) là $y=t^3-12t+3,t\ge 0$.

a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc.

b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới?

c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian $0\le t\le 3$.

d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc?

Lời giải chi tiết

a) Hàm vận tốc là: $v\left(t\right)=y^{\prime }=3t^2-12$, $t\ge 0$.

Hàm gia tốc là: $a\left(t\right)=v^{\prime }\left(t\right)=y^{\prime \prime }=6t$, $t\ge 0$.

b) Hạt chuyển động lên trên khi $v\left(t\right)>0\iff 3t^2-12>0\iff t>2$ (do $t\ge 0$).

Hạt chuyển động xuống dưới khi $v\left(t\right)<0\iff 3t^2-12<0\iff 0\le t<2$ (do $t\ge 0$).

c) Từ t = 0 đến t = 2, vật chuyển động từ toạ độ y = 3 đến toạ độ y = -13, tức là vật đi được quãng đường 16 đơn vị độ dài.

Từ t = 2 đến t = 3, vật chuyển động từ toạ độ y = -13 đến toạ độ y = -6 , tức là vật đi được quãng đường 7 đơn vị độ dài.

Do đó, trong khoảng thời gian 0 ≤ t ≤ 3 vật đi được quãng đường 23 đơn vị độ dài, tức là quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian 0 ≤ t ≤ 3 là 23 m.

d) Hạt tăng tốc khi $v\left(t\right)$ tăng hay $v^{\prime }\left(t\right)>0.$ Do đó, $6t>0\iff t>0$.

Hạt giảm tốc khi $v\left(t\right)$ giảm hay $v^{\prime }\left(t\right)<0\iff 6t<0\iff t<0$ (không thỏa mãn do $t\ge 0$).