Giải bài tập 1.27 trang 36

Trong Vật lý, điện trở tương đương RtdRtd{R_{td}} của hai điện trở R1,R2R1,R2{R_1},{R_2} mắc song song được xác định bởi công thức1Rtd=1R1+1R21Rtd=1R1+1R2\frac{1}{{{R_{td}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}. Biết rằng R2=3ΩR2=3Ω{R_2} = 3\Omega . Đặt R1=x(Ω),x>0R1=x(Ω),x>0{R_1} = x(\Omega ),x

Đề bài

Trong Vật lý, điện trở tương đương $R_{t d}$ của hai điện trở $R_{1}, R_{2}$ mắc song song được xác định bởi công thức $\frac{1}{R_{t d}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ . Biết rằng $R_{2} = 3 Ω$ . Đặt $R_{1} = x (Ω), x > 0$ .

a) Tính $R_{t d}$ theo $x$ , xem biểu thức tính được này là một hàm số $y = f (x)$ . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $f (x)$ với $x > 0$ .

b) Khi $x$ tăng, điện trở $R_{t d}$ thay đổi như thế nào? $R_{t d}$ không thể vượt qua giá trị bao nhiêu?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Dùng công thức điện trở tương đương của hai điện trở mắc song song.

- Đưa $R_{t d}$ về dạng hàm số y=f(x).

- Tìm tập xác định của hàm số

- Xét sự biến thiên của hàm số

- Vẽ đồ thị hàm số

- Phân tích sự thay đổi của $R_{t d}$ khi x tăng.

Lời giải chi tiết

- Tính $R_{t d}$ theo $x$ :

$\begin{array}{l} \frac{1}{R_{t d}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{3} \\ \frac{1}{R_{t d}} = \frac{3 + x}{3 x} \\ R_{t d} = \frac{3 x}{3 + x} \end{array}$

Vậy hàm số cần khảo sát là: $y = f (x) = \frac{3 x}{3 + x}$

- Tập xác định: $D = {x > 0, x \in R}$

- Đạo hàm: $f^{'} (x) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{3 + x}) = \frac{3 (3 + x) - 3 x}{{(3 + x)}^{2}} = \frac{9}{{(3 + x)}^{2}} > 0 \forall x \in R$

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(0, + \infty)$ .

- Giới hạn:

$lim_{x \to 0^{+}} f (x) = lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 x}{3 + x} = 0$

$lim_{x \to + \infty} f (x) = lim_{x \to + \infty} \frac{3 x}{3 + x} = 3$

- Vẽ đồ thị:

Đồ thị hàm số 𝑓(𝑥) là đường cong đi qua các điểm (0,0) và (𝑥,𝑦) với 𝑥>0, tiệm cận ngang 𝑦=3.

- Khi x tăng, $R_{t d}$ cũng tăng nhưng tiệm cận về giá trị 3.

- Vậy, $R_{t d}$ không thể vượt quá giá trị 3.