Giải bài tập 1.3 trang 13

Đề bài

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x-1}{x+2}$;

b) $y=\frac{x^2+x+4}{x-3}$.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D=R\setminus \left\{-2\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{2\left(x+2\right)-\left(2x-1\right)}{{\left(x+2\right)}^2}$

$=\frac{2x+4-2x+1}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{5}{\left(x+2\right)}>0$, $\forall x\ne -2$.

Do đó, hàm số $y=\frac{2x-1}{x+2}$ đồng biến trên $\left(-\infty ;-2\right)$ và $\left(-2;+\infty \right)$.

b) Tập xác định: $D=R\setminus \left\{3\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{{\left(x^2+x+4\right)}^{\prime }\left(x-3\right)-\left(x^2+x+4\right){\left(x-3\right)}^{\prime }}{{\left(x-3\right)}^2}$

$=\frac{\left(2x+1\right)\left(x-3\right)-x^2-x-4}{{\left(x-3\right)}^2}=\frac{x^2-6x-7}{{\left(x-3\right)}^2}$.

$y^{\prime }=0\iff \frac{x^2-6x-7}{{\left(x-3\right)}^2}=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=7\\ x=-1\end{array}$ (thỏa mãn).

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số $y=\frac{x^2+x+4}{x-3}$ nghịch biến trên khoảng $\left(-1;3\right)$ và $\left(3;7\right)$.

Hàm số $y=\frac{x^2+x+4}{x-3}$ đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(7;+\infty \right)$.