Giải bài tập 1.30 trang 45

Lập bảng biến thiên, tìm khoảng đơn điệu và cực trị (nếu có) của hàm số: a) y=−x3+2x2−x−7y=−x3+2x2−x−7y = - {x^3} + 2{x^2} - x - 7 b) y=x−61−2xy=x−61−2xy = \frac{{x - 6}}{{1 - 2x}} c) y=√4x−x2y=4x−x2y = \sqrt {4x - {x^2}}

Đề bài

Lập bảng biến thiên, tìm khoảng đơn điệu và cực trị (nếu có) của hàm số:

a) $y = - x^{3} + 2 x^{2} - x - 7$

b) $y = \frac{x - 6}{1 - 2 x}$

c) $y = \sqrt{4 x - x^{2}}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tìm tập xác định của hàm số

- Tính đạo hàm và giới hạn của hàm số

- Xét sự biến thiên của hàm số

Lời giải chi tiết

- Tập xác định: D = R.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

$lim_{x \to + \infty} f (x) = lim_{x \to + \infty} (- x^{3} + 2 x^{2} - x - 7) = lim_{x \to + \infty} [- x^{3} (1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}})] = - \infty$

$lim_{x \to - \infty} f (x) = lim_{x \to - \infty} (- x^{3} + 2 x^{2} - x - 7) = lim_{x \to - \infty} [- x^{3} (1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}})] = + \infty$

_{Ta có:} $y^{'} = - 3 x^{2} + 4 x - 1$

$y^{'} = 0 \leftrightarrow - 3 x^{2} + 4 x - 1 = 0 \leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = \frac{1}{3}$

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞, $\frac{1}{3}$ ) và (1,∞), đồng biến trên khoảng ( $\frac{1}{3}$ ,1).

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại $x = \frac{1}{2}, y_{C T} = - \frac{193}{27}$

Hàm số đạt cực đại tại $x = 1, y_{C D} = - 7$

- Tập xác định: $D = R ∖ {\frac{1}{2}}$ .

- Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

$lim_{x \to + \infty} f (x) = lim_{x \to + \infty} \frac{x - 6}{1 - 2 x} = - \frac{1}{2}$

$lim_{x \to - \infty} f (x) = lim_{x \to - \infty} \frac{x - 6}{1 - 2 x} = - \frac{1}{2}$

Suy ra đường thẳng $y = - \frac{1}{2}$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

$lim_{x \to {\frac{1}{2}}^{+}} f (x) = lim_{x \to {\frac{1}{2}}^{+}} \frac{x - 6}{1 - 2 x} = + \infty$

$lim_{x \to {\frac{1}{2}}^{-}} f (x) = lim_{x \to {\frac{1}{2}}^{-}} \frac{x - 6}{1 - 2 x} = - \infty$

Suy ra đường thẳng $x = \frac{1}{2}$ . là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: $y^{'} = \frac{- 11}{{(1 - 2 x)}^{2}} < 0$

Suy ra hàm số nghịch biến trên tập xác định.

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên $(- \infty, \frac{1}{2})$ . và $(\frac{1}{2}, + \infty)$ .

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

- Tập xác định: D = [0,4].

- Đạo hàm: $f^{'} (x) = \frac{4 - 2 x}{2 \sqrt{4 x - x^{2}}} = \frac{2 - x}{\sqrt{4 x - x^{2}}}$

- Giải phương trình $f^{'} (x) = 0$ :

$\begin{array}{l} \frac{2 - x}{\sqrt{4 x - x^{2}}} = 0 \\ \Rightarrow 2 - x = 0 \\ \Leftrightarrow x = 2 \end{array}$

- Bảng biến thiên:

- Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên khoảng [0,2) và nghịch biến trên khoảng (2,4].

- Hàm số đạt cực đại tại và không có cực tiểu.