Giải bài tập 1.31 trang 42

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên (mathbb{R})? A. (y = - {x^3} + 3{x^2} - 9x); B. (y = - {x^3} + x + 1); C. (y = frac{{x - 1}}{{x - 2}}); D. (y = 2{x^2} + 3x + 2).

Đề bài

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $R$ ?

A. $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 9 x$ ;

B. $y = - x^{3} + x + 1$ ;

C. $y = \frac{x - 1}{x - 2}$ ;

D. $y = 2 x^{2} + 3 x + 2$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về định lí về tính nghịch biến của hàm số để tìm đáp án đúng: Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên khoảng (a; b). Nếu $f^{'} (x) < 0$ với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên (a; b).

Lời giải chi tiết

Hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 9 x$ có:

$y^{'} = - 3 x^{2} + 6 x - 9$

$= - 3 (x^{2} - 2 x + 1) - 6$

$= - 3 {(x - 1)}^{2} - 6$ .

Vì $(x - 1)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow - 3 (x - 1)^{2} \leq 0$

$\Leftrightarrow - 3 (x - 1)^{2} - 6 < 0$ $\forall x \in R$ .

Suy ra y' < 0 $\forall x \in R$ .

Do đó, hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 9 x$ nghịch biến trên $R$ .

Chọn A.