Giải bài tập 1.32 trang 45

Đề bài

Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do trường phát động, bạn Nam làm một hình chóp tứ giác đều S.EFGH bằng cách sử dụng một tấm bìa hình vuông ABCD có cạnh bằng 5 cm và cắt tấm bìa theo các tam giác cân AEB, BFC, CGD, DHA. Sau đó bạn gấp các tam giác AEH,  BEF, CFG, DGH sao cho bốn đỉnh A, B, C, D trùng nhau tạo thành đỉnh S của khối chóp tứ giác đều như hình 1.66. Thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Theo đề bài ta có hình vẽ như sau:

- Đặt x (cm) là độ dài các cạnh của hình vuông EFGH ($x\in (0;2,5\sqrt{2})$).

Tương đương EF = FG = GH = EH = x nên $S_{EFGH}=x^2$.

Đặt SO là chiều cao của hình chóp S.EFGH.

- Độ dài đường chéo của hình vuông EFGH là $HF=EG=\sqrt{x^2+x^2}=x\sqrt{2}$ cm.

- Ta có: $SE=AE=\sqrt{{\left(\frac{x}{2}\right)}^2+{\left(\frac{5\sqrt{2}-x}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{x^2-5\sqrt{2}x+25}{2}}$.

- Vì tam giác vuông SOE vuông tại O nên suy ra:

$SO=\sqrt{S{E}^2-E{O}^2}=\sqrt{\frac{x^2-5\sqrt{2}x+25}{2}-\frac{2x^2}{4}}=\sqrt{\frac{25-5\sqrt{2}x}{2}}$.

- Thể tích của hình chóp S.EFGH là:

$V_{S.EFGH}=\frac{1}{3}.S_{EFGH}.SO=\frac{1}{3}{x}^2\sqrt{\frac{25-5\sqrt{2}x}{2}}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{25x^4-5\sqrt{2}{x}^5}{2}}$.

Để thể tích hình chóp S.EFGH là lớn nhất thì $f\left(x\right)=25x^4-5\sqrt{2}{x}^5$ phải đạt giá trị lớn nhất trong khoảng từ $\left(0;\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)$.

- Tính đạo hàm: $f^{\prime }\left(x\right)=100x^3-25\sqrt{2}{x}^4=0\iff x=2\sqrt{2}$.

Nhận thấy $f\left(x\right)$ sẽ đạt giá trị lớn nhất tại $x=2\sqrt{2}$.

Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành là:

$V_{S.EFGH}=\frac{1}{3}.S_{EFGH}.SO=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{25{\left(2\sqrt{2}\right)}^4-5\sqrt{2}{\left(2\sqrt{2}\right)}^5}{2}}=\frac{4\sqrt{10}}{3}$ $\left(c{m}^3\right)$.