Giải bài tập 1.34 trang 42

Giá trị lớn nhất của hàm số (y = {left( {x - 2} right)^2}.{e^x}) trên đoạn [1; 3] là: A. 0. B. ({e^3}). C. ({e^4}). D. e.

Đề bài

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = {(x - 2)}^{2} . e^{x}$ trên đoạn [1; 3] là:

A. 0.

B. $e^{3}$ .

C. $e^{4}$ .

D. e.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử $y = f (x)$ là hàm số liên tục trên $[a; b]$ và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn $[a; b]$ mà đạo hàm $f^{'} (x) = 0$ .

Các bước tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[a; b]$ :

1. Tìm các điểm $x_{1}, x_{2}, . . . x_{n} \in (a; b)$ , tại đó $f^{'} (x) = 0$ hoặc không tồn tại.

2. Tính $f (x_{1}); f (x_{2}); . . .; f (x_{n})$ , f(a) và f(b).

3. Tìm số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có: $m = min_{[a; b]} f (x)$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: $y^{'} = 2 (x - 2) e^{x} + e^{x} {(x - 2)}^{2}$ ;

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow 2 (x - 2) e^{x} + e^{x} {(x - 2)}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow e^{x} (2 + x - 2) (x - 2) = 0$

$\Leftrightarrow x . e^{x} (x - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$ .

$y (0) = 4$ ; $y (1) = e$ ; $y (3) = e^{3}$ ; $y (2) = 0$ .

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số $y = {(x - 2)}^{2} . e^{x}$ trên đoạn [1; 3] là $e^{3}$ .

Chọn B