Giải bài tập 1.34 trang 46

Đề bài

Cho hàm số $y=-x^3+3x+1$. Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị và chỉ ra tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.

Lời giải chi tiết

- Tập xác định: D = R.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

$\underset{x\to +\infty }{lim}y=\underset{x\to +\infty }{lim}\left(-x^3+3x+1\right)=-\infty$

$\underset{x\to -\infty }{lim}y=\underset{x\to -\infty }{lim}\left(-x^3+3x+1\right)=\infty$

_{Ta có:}

$y^{\prime }=-3x^2+3$

$y^{\prime }=0\leftrightarrow -3x^2+3=0\leftrightarrow x=\pm 1$

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞,-1) và (1,∞), đồng biến trên khoảng (-1,1).

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1,y_{CT}=-1$

Hàm số đạt cực đại tại $x=1,y_{CD}=3$

- Vẽ đồ thị:

Giao điểm với trục Oy là (0,1).

Giao điểm với trục Ox là (-1,53;0), (-0,53;0) và (1,88;0).

- Tính đạo hàm bậc hai: $f^{\prime \prime }\left(x\right)=-6x$

- Giải phương trình $f^{\prime \prime }\left(x\right)=0$: $-6x=0\iff x=0$

$x=0\to f\left(0\right)=1$

Vậy (0,1) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.