Giải bài tập 1.35 trang 46

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) $y=\frac{3x+6}{2-x}$

b) $y=2x+\frac{3}{2-x}$

Lời giải chi tiết

a)

- Tập xác định: $D=R\setminus \left\{2\right\}$

- Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{3x+6}{2-x}=-3$

$\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{3x+6}{2-x}=-3$

Suy ra đường thẳng $y=-3$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho

$\underset{x\to 2^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{3x+6}{2-x}=-\infty$

$\underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{3x+6}{2-x}=\infty$

Suy ra đường thẳng $x=2$. là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Ta có: $y^{\prime }=\frac{12}{{(2-x)}^2}>0\forall x\in D$

Suy ra hàm số đồng biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị

Tiệm cận đứng: $x=2$ và tiệm cận ngang $y=-3$

Giao với trục Oy tại điểm (0,3)

Giao với trục Ox tại điểm (-2,0)

b)

- Tập xác định: $D=R\setminus \left\{2\right\}$

- Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

$$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}\left(2x+\frac{3}{2-x}\right)=\infty$$

$\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{lim}\left(2x+\frac{3}{2-x}\right)=-\infty$

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

$\underset{x\to 2^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{lim}\left(2x+\frac{3}{2-x}\right)=-\infty$

 

$\underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{lim}\left(2x+\frac{3}{2-x}\right)=\infty$

Suy ra đường thẳng $x=2$. là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Khi $x\to \pm \infty ,\frac{3}{2-x}\to 0$nên đường thẳng $y=2x$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: $y^{\prime }=2+\frac{3}{{(2-x)}^2}>0\forall x\in D$

Suy ra hàm số đồng biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

- Vẽ đồ thị

Giao điểm với trục Ox là $\left(\frac{2+\sqrt{10}}{2};0\right),\left(\frac{2-\sqrt{10}}{2};0\right)$

Giao điểm với trục Oy là $\left(0;\frac{3}{2}\right)$