Giải bài tập 1.37 trang 46

Đề bài

Trong Vật lí, khi một điện trở ngoài có giá trị R (Ω) được nối qua một nguồn điện E (V) với một điện trở trong r (Ω) thì công suất (tính bằng W) của điện trở ngoài là:

$P=\frac{E^{2}R}{{(R+r)}^2}$

Khi R thay đổi, E và r cố định, ta xem P là hàm số theo R. Tìm công suất lớn nhất của điện trở ngoài.

Lời giải chi tiết

Ta có hàm số $P\left(R\right)=\frac{E^{2}R}{{(R+r)}^2}$

Lấy đạo hàm của P theo R:

$$P^{\prime }\left(R\right)=\frac{dP}{dR}=\frac{E^2.{(R+r)}^2-E^{2}R.2(R+r)}{{(R+r)}^4}=\frac{E^2(R^2+2Rr+r^2-2R^2-2Rr)}{{(R+r)}^4}=\frac{E^2(r^2-R^2)}{{(R+r)}^4}$$

Đặt P(R)=0 suy ra: $r^2-R^2=0\iff R^2=r^2\Rightarrow R=r$

Lấy đạo hàm cấp hai của P theo R:

$P^{\prime \prime }\left(R\right)=\frac{-2E^{2}R.{(R+r)}^4-E^2(r^2-R^2).4{(R+r)}^3}{{(R+r)}^8}=\frac{-2E^2{(R+r)}^4\left[R-2(r-R)\right]}{{(R+r)}^8}=\frac{-2E^2\left[R-2(r-R)\right]}{{(R+r)}^4}$

Với R = r thì ta có:

$P^{\prime \prime }\left(r\right)=\frac{-2E^2\left[r-2(r-r)\right]}{{(r+r)}^4}=\frac{-2E^{2}r}{r^5}=\frac{-2E^2}{r^4}<0$

Vì đạo hàm cấp hai tại R = r là âm, điều này xác nhận rằng R = r là một điểm cực đại.

Vậy công suất lớn nhất của điện trở ngoài khi R = r là: $P_{max}=\frac{E^2}{4r}$