Giải bài tập 1.38 trang 46

Đề bài

Trong Hóa học, xét một số phản ứng đơn giản một chiều có dạng:

aA+bB→cC+dDa

trong đó A,B,C,D là các chất hóa học và a,b,c,d là các hệ số cân bằng.

Theo định luật tác dụng khối lượng (M. Guldberg & P. Waage, 1864), tốc độ phản ứng hóa học được xác định bởi công thức: v=k[A]^a[B]^b

trong đó k là hằng số tốc độ phản ứng chỉ phụ thuộc vào bản chất của chất phản ứng và nhiệt độ; [A],[B] lần lượt là nồng độ mol của các chất A, B tại thời điểm đang xét (đơn vị mol/l).

Biết phương trình tạo ra khí nitrogen dioxide (NO₂) từ nitrogen monoxide (NO) và oxygen (O₂) như sau: 2NO+O₂→2NO₂.

Xác định nồng độ khí oxygen tham gia phản ứng để phản ứng xảy ra nhanh nhất, biết rằng tổng nồng độ của O₂ và NO là 1 (mol/l).

Lời giải chi tiết

Viết phương trình tốc độ phản ứng: $v=k[NO{]}^2\left[O_2\right]$

Đặt $\left[NO\right]=x$ và $\left[O_2\right]=1-x$ (tổng nồng độ là 1 mol/l).

Thay vào phương trình tốc độ ta có: $v=k{x}^2(1-x)$

Tính đạo hàm: $v^{\prime }\left(x\right)=k\left[2x\right(1-x)+x^2(-1\left)\right]=k(2x-3x^2)$

Giải phương trình $v^{\prime }=0$: $2x-3x^2=0\iff x_1=0,x_2=\frac{2}{3}$ (loại $x_1=0$ vì nồng độ phải dương).

Kiểm tra đạo hàm cấp hai để đảm bảo rằng đây là giá trị cực đại: $v^{\prime \prime }\left(x\right)=k(2-6x)$

Tại $x=\frac{2}{3}$:$v^{\prime \prime }\left(\frac{2}{3}\right)=k\left(2-6.\frac{2}{3}\right)=k(2-4)=-2k$

Nhận thấy tại $x=\frac{2}{3}$ thì giá trị của đạo hàm cấp hai là âm, đây là điểm cực đại.

Kết luận: Nồng độ khí oxygen $\left[O_2\right]$ tham gia phản ứng để phản ứng xảy ra nhanh nhất là $1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ mol/l.