Giải bài tập 1.39 trang 47

Đề bài

Một cổng vòm có dạng nửa hình tròn trên mặt đất với bán kính R=5 m. Người ta muốn đặt một khung hình chữ nhật ABCD để thiết kế trang trí, với hai điểm A,B đính trên vòm và CD đặt trên mặt đất (Hình 1.68). Tìm khoảng cách A,B so với mặt đất để diện tích hình chữ nhật ABCD là lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi y (m) là khoảng cách từ A và B đến mặt đất (y>0).

Vì A và B nằm trên nửa hình tròn có tâm tại gốc tọa độ (0,0) và bán kính R=5 m, tọa độ của chúng thỏa mãn phương trình đường tròn:

$x^2+y^2=25$

Giả sử A có toạ độ $(-x,y)$ và B có toạ độ $(x,y)$.

Chiều dài AB là: $\sqrt{{(-x-x)}^2+{(y-y)}^2}=2x$

Diện tích hình chữ nhật ABCD là: $S=AB.AD=2xy$

Thay $x=\sqrt{25-y^2}$ vào biểu thức diện tích ta được: $S=2\sqrt{25-y^2}.y$

Đạo hàm của S theo y: $S^{\prime }=2\left(\sqrt{25-y^2}+y.\frac{-y}{\sqrt{25-y^2}}\right)=2\left(\frac{25-y^2-y^2}{\sqrt{25-y^2}}\right)=2\left(\frac{25-2y^2}{\sqrt{25-y^2}}\right)$

Đặt đạo hàm bằng 0, ta có: $S^{\prime }=0\iff 25-2y^2=0\iff 2y^2=25\Rightarrow y=\frac{5\sqrt{2}}{2}$

Đạo hàm cấp 2 của S:

$\begin{array}{c}{S}^{\prime \prime }=2.\frac{-4y.\sqrt{25-y^2}+(25-2y^2)\frac{y}{\sqrt{25-y^2}}}{25-y^2}\\ =2.\frac{-4y\sqrt{25-y^2}+\frac{y\left(25-2y^2\right)}{\sqrt{25-y^2}}}{25-y^2}\\ =2.\frac{-4y\left(25-y^2\right)+y\left(25-2y^2\right)}{\left(25-y^2\right)\sqrt{25-y^2}}\\ =2.\frac{-4y\left(25-y^2\right)+y\left(25-2y^2\right)}{\left(25-y^2\right)\sqrt{25-y^2}}\\ =2.\frac{-100y+4y^3+25y-2y^3}{\left(25-y^2\right)\sqrt{25-y^2}}\\ =2.\frac{-75y+2y^3}{\left(25-y^2\right)\sqrt{25-y^2}}\end{array}$

Thay $y=\frac{5\sqrt{2}}{2}$ vào đạo hàm cấp 2 ta được:

$S^{\prime \prime }\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)=2.\frac{-75.\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)+2{\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)}^3}{\left(25-{\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)}^2\right)\sqrt{25-{\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)}^2}}=-8<0$

Vì giá trị âm nên $y=\frac{5\sqrt{2}}{2}$là cực đại của hàm S.

Vậy A, B cách mặt đất một khoảng $y=\frac{5\sqrt{2}}{2}$ thì diện tích hình chữ nhật ABCD là lớn nhất.