Giải bài tập 1.4 trang 13

Đề bài

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ ;

b) $y = \frac{x}{x^{2} + 1}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về các bước để xét tính đơn điệu để xét chiều biến thiên của hàm số: Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số $y = f (x)$ :

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Tính đạo hàm $f^{'} (x)$ . Tìm các điểm $x_{i} (i = 1, 2, . . .)$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

3. Sắp xếp các điểm $x_{i}$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.

4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D = [- 2; 2]$ .

Ta có: $y^{'} = \frac{{(4 - x^{2})}^{'}}{2 \sqrt{4 - x^{2}}} = \frac{- x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$ ;

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (TM).

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ đồng biến trên khoảng $(- 2; 0)$ .

Hàm số $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$ .

b) Tập xác định: $D = R$ .

Ta có: $y^{'} = \frac{x^{'} (x^{2} + 1) - x (x^{2} + 1)^{'}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

$= \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \end{matrix}$ .

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số $y = \frac{x}{x^{2} + 1}$ nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - 1)$ , $(1; + \infty)$ .

Hàm số $y = \frac{x}{x^{2} + 1}$ đồng biến trên khoảng $(- 1; 1)$ .