Giải bài tập 1.40 trang 47

Đề bài

Kính viễn vọng Hubble được tàu không gian Discovery đưa vào sử dụng ngày 24/4/1990. Mô hình vận tốc của tàu trong sứ mệnh này, từ lúc rời bệ phóng (t=0 giây) cho đến khi được tên lửa đẩy nhanh khỏi bệ tại thời điểm t = 126 giây, được xác định bởi công thức:

$v\left(t\right)=0,001302t^3-0,09029t^2+23,61t-3,083\left(feet/giây\right)$

(Nguồn: James Stewart, J. (2015). Calculus. Cengage Learning 8th edition, p. 282). Tính gia tốc lớn nhất và gia tốc nhỏ nhất của tàu trong khoảng thời gian này (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Lời giải chi tiết

Ta có hàm vận tốc $v\left(t\right)$ :$v\left(t\right)=0,001302t^3-0,09029t^2+23,61t-3,083$

Đạo hàm của $v\left(t\right)$ là: $a\left(t\right)=v^{\prime }\left(t\right)=\frac{d}{dt}\left[0,001302t^3-0,09029t^2+23,61t-3,083\right]$

Áp dụng quy tắc đạo hàm:

$\begin{array}{c}a\left(t\right)=3.0,001302t^2-2.0,09029t+23,61\\ a\left(t\right)=0,003906t^2-0,18058t+23,61\end{array}$

Đạo hàm của $a\left(t\right)$ là:

$\begin{array}{c}{a}^{\prime }\left(t\right)=\frac{d}{dt}\left[0,003906t^2-0,18058t+23,61\right]\\ a^{\prime }\left(t\right)=2\cdot 0,003906t-0,18058\\ a^{\prime }\left(t\right)=0,007812t-0,18058\end{array}$

Giải phương trình $a^{\prime }\left(t\right)=0$:

$\begin{array}{c}0,007812t-0,18058=0\\ 0,007812t=0,18058\\ t=\frac{0,18058}{0,007812}\\ t\approx 23,11\end{array}$

Ta có $t\approx 23,11$. Chúng ta sẽ kiểm tra giá trị của gia tốc tại các thời điểm $t=0,t=23,11$ và $t=126$.

Tại $t=0$:

$a\left(0\right)=0,003906\cdot 0^2-0,18058\cdot 0+23,61=23,61$

Tại $t=23,11$:

$a(23,11)=0,003906\cdot (23,11{)}^2-0,18058\cdot 23,11+23,61\approx 21,52$

Tại $t=126$:

$a\left(126\right)=0,003906\cdot (126{)}^2-0,18058\cdot 126+23,61\approx 62,92$

Kết luận:

Gia tốc lớn nhất: $\approx 62,92$ feet / giây ${}^2$ (tại $t=126$ giây).

Gia tốc nhỏ nhất: $\approx 21,52$ feet/giây ${}^2$ (tại $t\approx 23,11$ giây)