Giải bài tập 1.41 trang 44

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a) (y = frac{{2x + 1}}{{3x - 2}}) trên nửa khoảng (left[ {2; + infty } right)); b) (y = sqrt {2 - {x^2}} );

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y = \frac{2 x + 1}{3 x - 2}$ trên nửa khoảng $[2; + \infty)$ ;

b) $y = \sqrt{2 - x^{2}}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử $y = f (x)$ là hàm số liên tục trên $[a; b]$ và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn $[a; b]$ mà đạo hàm $f^{'} (x) = 0$ .

Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[a; b]$ :

1. Tìm các điểm $x_{1}, x_{2}, . . . x_{n} \in (a; b)$ , tại đó $f^{'} (x) = 0$ hoặc không tồn tại.

2. Tính $f (x_{1}); f (x_{2}); . . .; f (x_{n})$ , f(a) và f(b).

3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.

Ta có: $M = max_{[a; b]} f (x)$ , $m = min_{[a; b]} f (x)$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $y^{'} = \frac{- 7}{{(3 x - 2)}^{2}} < 0 \forall x \in [2; + \infty)$ .

Do đó $max_{[2; + \infty)} y = y (2) = \frac{2.2 + 1}{3.2 - 2} = \frac{5}{4}$ , hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng $[2; + \infty)$ .

b) Tập xác định: $[- \sqrt{2}; \sqrt{2}]$ .

$y^{'} = \frac{- 2 x}{2 \sqrt{2 - x^{2}}} = \frac{- x}{\sqrt{2 - x^{2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (thỏa mãn).

$y (- \sqrt{2}) = y (\sqrt{2}) = 0$ ; $y (0) = \sqrt{2}$ .

Vậy:

$min_{[- \sqrt{2}; \sqrt{2}]} y = y (- \sqrt{2}) = y (\sqrt{2}) = 0$ ;

$max_{[- \sqrt{2}; \sqrt{2}]} y = y (0) = \sqrt{2}$ .