Giải bài tập 1.46 trang 44

Đề bài

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như Hình 1.40. Khoảng cách từ C đến B là 4 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 10 km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng. Xác định vị trí điểm M trên đoạn AB (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về cách giải bài toán tối ưu hóa đơn giản để tính:

Bước 1: Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.

Bước 2: Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x. Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x. Tìm tập xác định của hàm số $Q = Q (x)$ .

Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số $Q = Q (x)$ bằng các phương pháp đã biết và kết luận.

Lời giải chi tiết

Đặt MB = x (km; $0 \leq x \leq 10$ ).

Khi đó, AM = 10 - x (km);

$M C = \sqrt{M B^{2} + C B^{2}} = \sqrt{x^{2} + 16}$ (km).

Khi đó, chi phí nối điện từ A đến C là:

$f (x) = 30 (10 - x) + 50 \sqrt{x^{2} + 16}$ (triệu đồng).

Ta có: $f^{'} (x) = - 30 + \frac{50 x}{\sqrt{x^{2} + 16}} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 16}} = \frac{3}{5}$

$\Leftrightarrow 25 x^{2} = 9 x^{2} + 144$

$\Leftrightarrow x = 3$ (do $0 \leq x \leq 10$ ).

Ta có: f(0) = 500; f(3) = 460; $f (10) = 100 \sqrt{29}$ nên chi phí nhỏ nhất là 460 triệu đồng khi x = 3.

Vậy M cách B một khoảng 3 km trên đoạn AB (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) thì tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.