Giải bài tập 1.5 trang 13

Giả sử số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số (Nleft( t right) = frac{{25t + 10}}{{t + 5}},t ge 0), trong đó N(t) được tính bằng nghìn người. a) Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015. b) Tính đạo hàm N’(t) và (mathop {lim }limits_{t to + infty } Nleft(

Đề bài

Giả sử số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số $N (t) = \frac{25 t + 10}{t + 5}, t \geq 0$ , trong đó N(t) được tính bằng nghìn người.

a) Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015.

b) Tính đạo hàm N’(t) và $lim_{t \to + \infty} N (t)$ . Từ đó giải thích tại sao dân số của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt qua một ngưỡng nào đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về định lí về tính đồng biến của hàm số để chứng minh: Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên khoảng K. Nếu $f^{'} (x) > 0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f (x)$ đồng biến trên khoảng K.

Lời giải chi tiết

a) Dân số của thị trấn đó vào năm 2000 là:

$N (0) = \frac{25.0 + 10}{0 + 5} = \frac{10}{5} = 2$ (nghìn người).

Dân số của thị trấn đó vào năm 2015 là:

$N (15) = \frac{25.15 + 10}{15 + 5} = 19, 25$ (nghìn người).

b) Ta có:

$lim_{t \to + \infty} N (t) = lim_{t \to + \infty} \frac{25 t + 10}{t + 5} = lim_{t \to + \infty} \frac{25 + \frac{10}{t}}{1 + \frac{5}{t}} = 25$ .

$N^{'} (t) = {[\frac{25 t + 10}{t + 5}]}^{'} = \frac{(25 t + 10)^{'} (t + 5) - (25 t + 10) (t + 5)^{'}}{{(t + 5)}^{2}}$

$= \frac{25 (t + 5) - (25 t + 10)}{{(t + 5)}^{2}} = \frac{115}{{(t + 5)}^{2}} > 0$ $\forall t \in D$ .

Vì $lim_{t \to + \infty} N (t) = 25$ và $N^{'} (t) > 0$ nên dân số của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt qua ngưỡng 25 nghìn người.