Giải bài tập 1.6 trang 14

Đồ thị của đạo hàm bậc nhất (y = f'left( x right)) của hàm số f(x) được cho trong Hình 1.13: a) Hàm số f(x) đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích. b) Tại giá trị nào của x thì f(x) có cực đại hoặc cực tiểu? Giải thích.

Đề bài

Đồ thị của đạo hàm bậc nhất $y = f^{'} (x)$ của hàm số f(x) được cho trong Hình 1.13:

a) Hàm số f(x) đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích.

b) Tại giá trị nào của x thì f(x) có cực đại hoặc cực tiểu? Giải thích.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến: Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên khoảng K.

+ Nếu $f^{'} (x) > 0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f (x)$ đồng biến trên khoảng K.

+ Nếu $f^{'} (x) < 0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f (x)$ nghịch biến trên khoảng K.

Sử dụng kiến thức về định lí cực trị hàm số để giải: Giả sử hàm số $y = f (x)$ liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm $x_{0}$ và có đạo hàm trên các khoảng $(a; x_{0})$ và $(x_{0}; b)$ . Khi đó:

+ Nếu $f^{'} (x) < 0$ với mọi $x \in (a; x_{0})$ và $f^{'} (x) > 0$ với mọi $x \in (x_{0}; b)$ thì điểm $x_{0}$ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

+ Nếu $f^{'} (x) > 0$ với mọi $x \in (a; x_{0})$ và $f^{'} (x) < 0$ với mọi $x \in (x_{0}; b)$ thì điểm $x_{0}$ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

Lời giải chi tiết

a) Vì $f^{'} (x) > 0$ khi $x \in (2; 4)$ và $x \in (6; + \infty)$ . Do đó, hàm số f(x) đồng biến trên $(2; 4)$ và $(6; + \infty)$ .

Vì $f^{'} (x) < 0$ khi $x \in (0; 2)$ và $x \in (4; 6)$ . Do đó, hàm số f(x) nghịch biến trên $(0; 2)$ và $(4; 6)$ .

b) Vì $f^{'} (x) < 0$ với mọi $x \in (0; 2)$ và $f^{'} (x) > 0$ với mọi $x \in (2; 4)$ nên $x = 2$ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Vì $f^{'} (x) > 0$ với mọi $x \in (2; 4)$ và $f^{'} (x) < 0$ với mọi $x \in (4; 6)$ nên điểm $x = 4$ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

Vì $f^{'} (x) < 0$ với mọi $x \in (4; 6)$ và $f^{'} (x) > 0$ với mọi $x \in (6; + \infty)$ nên điểm $x = 6$ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Chú ý:

Vì đây là đồ thị hàm số f'(x) nên ta xác định dấu của f'(x) bằng cách quan sát và kết luận:

- f'(x) > 0 trên khoảng đồ thị nằm trên trục hoành.

- f'(x) < 0 trên khoảng đồ thị nằm dưới trục hoành.