Giải bài tập 1.7 trang 14

Đề bài

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) $y=2x^3-9x^2+12x-5$;

b) $y=x^4-4x^2+2$;

c) $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$;

d) $y=\sqrt{4x-2x^2}$.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D=R$.

$y^{\prime }=6x^2-18x+12$;

$y^{\prime }=0\iff 6x^2-18x+12=0\iff [\begin{array}{c}x=1\\ x=2\end{array}$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y=2x^3-9x^2+12x-5$ có điểm cực đại là $\left(1;0\right)$.

Hàm số $y=2x^3-9x^2+12x-5$ có điểm cực tiểu là $\left(2;-1\right)$.

b) Tập xác định của hàm số là $R$.

Ta có: $y^{\prime }=4x^3-8x$,

$y^{\prime }=0\iff 4x^3-8x=0\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm \sqrt{2}\end{array}$.

Bảng biến thiên:

 

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y=x^4-4x^2+2$ đạt cực đại tại $x=0$ và $y_{CĐ}=2$.

Hàm số $y=x^4-4x^2+2$ đạt cực tiểu tại $x=\pm \sqrt{2}$ và $y_{CT}=-2$.

c) Tập xác định: $D=R\setminus \left\{1\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{\left(2x-2\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-2x+3\right)}{{\left(x-1\right)}^2}$

$=\frac{x^2-2x-1}{{\left(x-1\right)}^2}$.

$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{c}x=1-\sqrt{2}\\ x=1+\sqrt{2}\end{array}$ (thỏa mãn).

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$ đạt cực đại tại $x=1-\sqrt{2}$ và $y_{CĐ}=-2\sqrt{2}$.

Hàm số $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$ đạt cực tiểu tại $x=1+\sqrt{2}$ và $y_{CT}=2\sqrt{2}$.

d) Tập xác định: $D=\left[0;2\right]$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{{\left(4x-2x^2\right)}^{\prime }}{2\sqrt{4x-2x^2}}=\frac{2\left(-x+1\right)}{\sqrt{4x-2x^2}}$;

$y^{\prime }=0\iff x=1$ (TM).

Ta có bảng biến thiên của hàm số:

Do đó, hàm số đạt cực đại tại $x=1$, $y_{CĐ}=\sqrt{2}$, hàm số không có cực tiểu.