Giải bài tập 1.8 trang 14

Đề bài

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\left|x\right|$.

a) Tính các giới hạn $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$ và $\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$. Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại $x=0$.

b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại $x=0$ (Xem Hình 1.4).

Lời giải chi tiết

a) $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\left|x\right|-0}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x}{x}=1$.

$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{\left|x\right|-0}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{-x}{x}=-1$.

Vì $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\ne \underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$ nên hàm số không có đạo hàm tại $x=0$.

b) Đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\left|x\right|$:

Ta có: $y=f\left(x\right)=\left|x\right|=\{\begin{array}{c}-xkhix\in \left(-\infty ;0\right)\\ xkhix\in \left(0;+\infty \right)\end{array}$.

Hàm số $y=f\left(x\right)=\left|x\right|$ liên tục và xác định trên $\left(-\infty ;+\infty \right)$.

Với số $h>0$ ta có: Với $x\in \left(-h;h\right)\subset \left(-\infty ;+\infty \right)$ và $x\ne 0$ thì $y=f\left(x\right)=\left|x\right|>0=f\left(0\right)$.

Do đó, hàm số $y=f\left(x\right)=\left|x\right|$ có cực tiểu là $x=0$.