Giải bài tập 1.8 trang 14

Cho hàm số (y = fleft( x right) = left| x right|). a) Tính các giới hạn (mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} frac{{fleft( x right) - fleft( 0 right)}}{{x - 0}}) và (mathop {lim }limits_{x to {0^ - }} frac{{fleft( x right) - fleft( 0 right)}}{{x - 0}}). Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại (x = 0)

Đề bài

Cho hàm số $y = f (x) = | x |$ .

a) Tính các giới hạn $lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0}$ và $lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0}$ . Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$ .

b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại $x = 0$ (Xem Hình 1.4).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về cực trị hàm số để tìm cực tiểu của hàm số: Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (a có thể là $- \infty$ , b có thể là $+ \infty$ ) và điểm $x_{0} \in (a; b)$ . Nếu tồn tại số $h > 0$ sao cho $f (x) > f (x_{0})$ với mọi $x \in (x_{0} - h; x_{0} + h) \subset (a; b)$ và $x \neq x_{0}$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại $x_{0}$ .

Lời giải chi tiết

a) $lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{| x | - 0}{x - 0} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{x} = 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{| x | - 0}{x - 0} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{- x}{x} = - 1$ .

Vì $lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} \neq lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0}$ nên hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$ .

b) Đồ thị hàm số $y = f (x) = | x |$ :

Ta có: $y = f (x) = | x | = {\begin{cases} - x k h i x \in (- \infty; 0) \\ x k h i x \in (0; + \infty) \end{cases}$ .

Hàm số $y = f (x) = | x |$ liên tục và xác định trên $(- \infty; + \infty)$ .

Với số $h > 0$ ta có: Với $x \in (- h; h) \subset (- \infty; + \infty)$ và $x \neq 0$ thì $y = f (x) = | x | > 0 = f (0)$ .

Do đó, hàm số $y = f (x) = | x |$ có cực tiểu là $x = 0$ .