Giải bài tập 1 trang 36

Đề bài

 

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=x^3+x-2$

b) $y=2x^3+x^2-\frac{1}{2}x-3$

Lời giải chi tiết

a) $y=x^3+x-2$

Tập xác định: $D=R$

• Chiều biến thiên:

$y^{\prime }=3x^2+1>0\forall x\in R$ nên hàm số đồng biến trên $R$

• Cực trị:

Hàm số không có cực trị

• Các giới hạn tại vô cực:

$\underset{x\to -\infty }{lim}y=\underset{x\to -\infty }{lim}(x^3+x-2)=-\infty$; $\underset{x\to +\infty }{lim}y=\underset{x\to +\infty }{lim}(x^3+x-2)=+\infty$

• Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = -2 nên (0; -2) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: $y=0\iff x^3+x-2=0\iff x=1$

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1; 0)

b) $y=2x^3+x^2-\frac{1}{2}x-3$

Tập xác định: $D=R$

• Chiều biến thiên:

$y^{\prime }=6x^2+2x-\frac{1}{2}=0\iff [\begin{array}{c}x=-\frac{1}{2}\\ x=\frac{1}{6}\end{array}$

Trên các khoảng ($-\infty$; $-\frac{1}{2}$), ($\frac{1}{6}$; $+\infty$) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng ($-\frac{1}{2}$; $\frac{1}{6}$) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

• Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = $-\frac{1}{2}$ và $y_{cd}=-\frac{11}{4}$

Hàm số đạt cực tiểu tại x = $\frac{1}{6}$ và $y_{ct}=-\frac{329}{108}$

• Các giới hạn tại vô cực:

$\underset{x\to -\infty }{lim}y=\underset{x\to -\infty }{lim}(2x^3+x^2-\frac{1}{2}x-3)=-\infty$; $\underset{x\to +\infty }{lim}y=\underset{x\to +\infty }{lim}(2x^3+x^2-\frac{1}{2}x-3)=+\infty$

• Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = -3 nên (0; -3) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: $y=0\iff 2x^3+x^2-\frac{1}{2}x-3=0\iff x=1,06$

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1,06; 0)