Giải bài tập 1 trang 42

Viết phương trình của mặt phẳng: a) Đi qua điểm (Aleft( {2;0;0} right)) và nhận (vec n = left( {2;1; - 1} right)) làm vectơ pháp tuyến. b) Đi qua điểm (Bleft( {1;2;3} right)) và song song với giá của mỗi vectơ (vec u = left( {1;2;3} right)) và (vec v = left( { - 2;0;1} right)). c) Đi qua ba điểm (Al

Đề bài

Viết phương trình của mặt phẳng:

a) Đi qua điểm $A (2; 0; 0)$ và nhận $\vec{n} = (2; 1; - 1)$ làm vectơ pháp tuyến.

b) Đi qua điểm $B (1; 2; 3)$ và song song với giá của mỗi vectơ $\vec{u} = (1; 2; 3)$ và $\vec{v} = (- 2; 0; 1)$ .

c) Đi qua ba điểm $A (1; 0; 0)$ , $B (0; 2; 0)$ và $C (0; 0; 4)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Phương trình mặt phẳng đi qua $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ và nhận $\vec{n} = (A; B; C)$ làm một vectơ pháp tuyến là $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ .

b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$ . Sau đó viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm đi qua và một vectơ pháp tuyến.

c) Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A (2; 0; 0)$ và nhận $\vec{n} = (2; 1; - 1)$ làm vectơ pháp tuyến là $2 (x - 2) + 1 (y - 0) - 1 (z - 0) = 0 \Leftrightarrow 2 x + y - z - 4 = 0.$

b) Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $B (1; 2; 3)$ và song song với giá của mỗi vectơ $\vec{u} = (1; 2; 3)$ và $\vec{v} = (- 2; 0; 1)$ . Do $(P)$ song song với giá của $\vec{u}$ và $\vec{v}$ nên $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là một cặp vectơ chỉ phương của $(P)$ . Do đó, một vectơ pháp tuyến của $(P)$ là:

$\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}] = (2.1 - 3.0; 3. (- 2) - 1.1; 1.0 - 2. (- 2)) = (2; - 7; 4) .$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $B (1; 2; 3)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (2; - 7; 4)$ là $2 (x - 1) - 7 (y - 2) + 4 (z - 3) = 0 \Leftrightarrow 2 x - 7 y + 4 z = 0.$

c) Mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) và C(0; 0; 4) có phương trình là:

$\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow 4 x + 2 y + z - 4 = 0$ .