Giải bài tập 1 trang 65

Viết phương trình mặt cầu (left( S right)): a) Có tâm (Ileft( {7; - 3;0} right)), bán kính (R = 8). b) Có tâm (Mleft( {3;1; - 4} right)) và đi qua điểm (Nleft( {1;0;1} right)). c) Có đường kính (AB) với (Aleft( {4;6;8} right)) và (Bleft( {2;4;4} right)).

Đề bài

Viết phương trình mặt cầu $(S)$ :

a) Có tâm $I (7; - 3; 0)$ , bán kính $R = 8$ .

b) Có tâm $M (3; 1; - 4)$ và đi qua điểm $N (1; 0; 1)$ .

c) Có đường kính $A B$ với $A (4; 6; 8)$ và $B (2; 4; 4)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Mặt cầu $(S)$ tâm $I (a; b; c)$ và bán kính $R$ có phương trình là:

${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2}$ .

b) Mặt cầu $(S)$ có tâm $M$ và đi qua $N$ , nên $M N$ là một bán kính của $(S)$ , từ đó viết phương trình mặt cầu $(S)$ theo như câu a.

c) Mặt cầu $(S)$ có đường kính $A B$ , suy ra $(S)$ có tâm $I$ là trung điểm của $A B$ và bán kính bằng $\frac{A B}{2}$ , từ đó viết phương trình mặt cầu $(S)$ theo như câu a.

Lời giải chi tiết

a) Mặt cầu $(S)$ tâm $I (7; - 3; 0)$ , bán kính $R = 8$ có phương trình là:

${(x - 7)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + z^{2} = 64$ .

b) Mặt cầu $(S)$ có tâm $M$ và đi qua $N$ , nên $M N$ là một bán kính của $(S)$ .

Ta có $M N = \sqrt{{(3 - 1)}^{2} + {(1 - 0)}^{2} + {(- 4 - 1)}^{2}} = \sqrt{30}$ .

Vậy phương trình mặt cầu:

$(S)$ là ${(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 4)}^{2} = 30$ .

c) Mặt cầu $(S)$ có đường kính $A B$ , suy ra $(S)$ có tâm $I$ là trung điểm của $A B$ và bán kính bằng $\frac{A B}{2}$ .

Ta có $A (4; 6; 8)$ và $B (2; 4; 4)$ , suy ra $I (3; 5; 6)$ .

$A B = \sqrt{{(4 - 2)}^{2} + {(6 - 4)}^{2} + {(8 - 4)}^{2}} = 2 \sqrt{6}$ , suy ra $R = \frac{A B}{2} = \sqrt{6}$ .

Vậy phương trình mặt cầu:

$(S)$ là ${(x - 3)}^{2} + {(y - 5)}^{2} + {(z - 6)}^{2} = 6$ .