Giải bài tập 10 trang 37

Đề bài

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như Hình 3. Viết công thức của hàm số.

 

Lời giải chi tiết

Hàm số có dạng: $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ $(a<0)$.

Đồ thị hàm số giao với Oy tại điểm (0; 5) nên:

$y\left(0\right)=a{.0}^3+b{.0}^2+c.0+d=5$

$\iff d=5$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm (3; 5) nên:

$y=a{.3}^3+b{.3}^2+c.3+5=5$

$\iff 27a+9b+3c=0$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 1) nên:

$y\left(1\right)=a{.1}^3+b{.1}^2+c.1+5=1$

$\iff a+b+c=-4$.

Ta có: $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$.

Hàm số đạt cực đại tại điểm (3; 5) nên:

$y^{\prime }\left(3\right)=3a{x}^2+2bx+c=3.a{.3}^2+2.b.3+c=0$

$\iff 27a+6b+c=0$.

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}27a+9b+3c=0\\ a+b+c=-4\\ 27a+6b+c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a=-1\\ b=6\\ c=-9\end{array}$

Vậy hàm số là $y=-x^3+6x^2-9x+5$.