Giải bài tập 10 trang 43

Đề bài

Một công trường xây dựng nhà cao tầng đã thiết lập hệ toạ độ $Oxyz$. Hãy kiểm tra tính song song hoặc vuông góc giữa các mặt kính $\left(P\right)$, $\left(Q\right)$, $\left(R\right)$ của một toà nhà, biết:

$\left(P\right):3x+y-z+2=0$

$\left(Q\right):6x+2y-2z+11=0$

$\left(R\right):x-3y+1=0$

Lời giải chi tiết

Các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng $\left(P\right)$, $\left(Q\right)$, $\left(R\right)$ lần lượt là $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(3;1;-1\right)$, $\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=\left(6;2;-2\right)$ và $\overrightarrow{n_{\left(R\right)}}=\left(1;-3;0\right).$

Ta thấy rằng $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=\frac{-1}{-2}$ nên $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}$ và $\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}$ là 2 vectơ cùng phương. Từ đó suy ra $\left(P\right)\parallel \left(Q\right).$

Ta có $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}.\overrightarrow{n_{\left(R\right)}}=3.1+1.\left(-3\right)+\left(-1\right).0=0$ nên $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}$ và $\overrightarrow{n_{\left(R\right)}}$ có giá vuông góc với nhau. Suy ra $\left(P\right)\perp \left(R\right).$

Ta có $\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}.\overrightarrow{n_{\left(R\right)}}=6.1+2.\left(-3\right)+\left(-2\right).0=0$ nên $\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}$ và $\overrightarrow{n_{\left(R\right)}}$ có giá vuông góc với nhau. Suy ra $\left(Q\right)\perp \left(R\right).$