Giải bài tập 10 trang 86

Đề bài

Tính góc giữa đường thẳng $Δ$ và mặt phẳng (P) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), biết $Δ : {\begin{cases} x = - 1 + 2 t \\ y = 4 - 3 t \\ z = - 1 + 4 t \end{cases}$ (t là tham số) và $(P) : x + y + z + 3 = 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về côsin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Gọi $(Δ, (P))$ là góc giữa đường thẳng $Δ$ và mặt phẳng (P). Khi đó, $\sin (Δ, (P)) = | \cos (\vec{u}, \vec{n}) | = \frac{| \vec{u} . \vec{n} |}{| \vec{u} | . | \vec{n} |} = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} |}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}} . \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết

Đường thẳng $Δ$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; - 3; 4)$ .

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; 1; 1)$ .

Ta có: $\sin ((P), Δ) = \frac{| 2.1 - 3.1 + 4.1 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 3)}^{2} + 4^{2}} . \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{87}}$ nên $((P), Δ) \approx 19^{o}$ .