Giải bài tập 11 trang 46

Đề bài

 

Một người nông dân có 15.000.000 đồng để làm một hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông bao quanh hai khu đất trồng rau có dạng hai hình chữ nhật bằng nhau (Hình 35). Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60.000 đồng/mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50.000 đồng/mét, mặt giáp với bờ sông không phải hàng rào. Tìm diện tích lớn nhất của hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào.

Lời giải chi tiết

Giả sử chiều dài từng mặt của ba mặt hàng rào song song nhau là x (m).

Chi phí để làm ba mặt hàng rào song song là: 3.x.50000 = 150000x (đồng).

Chi phí để làm mặt hàng rào song song với bờ sông là: 15000000 – 150000x (đồng).

Chiều dài của mặt hàng rào song song với bờ sông là $\frac{15000000-150000x}{60000}=\frac{1500-15x}{6}$ (m).

Điều kiện: $\{\begin{array}{c}x>0\\ 1500-15x>0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x>0\\ x<100\end{array}$

Giả sử diện tích hàng rào không đáng kể, khi đó diện tích hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào là:

$S\left(x\right)=\frac{x(1500-15x)}{6}=\frac{-15x^2+1500x}{6}$ ($m^2$).

Diện tích lớn nhất của hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào là giá trị lớn nhất của hàm số S(x).

Xét $S^{\prime }\left(x\right)=-\frac{15}{3}x+\frac{1500}{6}=0\iff x=50$.

Ta có bảng biến thiên:

 

Trên khoảng (0;100), hàm số S(x) đạt giá trị lớn nhất bằng 6250 tại x = 50.

Vậy diện tích lớn nhất của hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào là 6250 $m^2$.