Giải bài tập 11 trang 60

Đề bài

Trên một cánh đồng điện mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ $Oxyz$. Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng $\left(P\right):2x+2z+1=0$ và $\left(P^{\prime }\right):x+z+7=0$.

a) Tính góc giữa $\left(P\right)$ và $\left(P^{\prime }\right)$.

b) Tính góc hợp bởi $\left(P\right)$ và $\left(P^{\prime }\right)$ với mặt đất $\left(Q\right)$ có phương trình $z=0$.

Lời giải chi tiết

a) Một vectơ pháp tuyến của $\left(P\right)$ là $\vec{n}=\left(2;0;2\right)$.

Một vectơ pháp tuyến của $\left(P^{\prime }\right)$ là ${\vec{n}}^{\prime }=\left(1;0;1\right)$.

Ta có $\cos \left(\left(P\right),\left(P^{\prime }\right)\right)=\left|\cos \left(\vec{n},{\vec{n}}^{\prime }\right)\right|$

$=\frac{\left|2.1+0.0+2.1\right|}{\sqrt{2^2+0^2+2^2}.\sqrt{1^2+0^2+1^2}}=1$.

Suy ra $\left(\left(P\right),\left(P^{\prime }\right)\right)=0^o$.

Cách khác: Do $\frac{2}{1}=\frac{2}{1}$ nên $\vec{n}$ và ${\vec{n}}^{\prime }$ là hai vectơ cùng phương. Suy ra $\left(P\right)\parallel \left(P^{\prime }\right)$. Từ đó $\left(\left(P\right),\left(P^{\prime }\right)\right)=0^o$.

b) Một vectơ pháp tuyến của mặt đất $\left(Q\right)$ là $\vec{m}=\left(0;0;1\right)$.

+) $\cos \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\left|\cos \left(\vec{n},\vec{m}\right)\right|=\frac{\left|2.0+0.0+2.1\right|}{\sqrt{2^2+0^2+2^2}.\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Suy ra $\left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)={45}^o$.

+) $\cos \left(\left(P^{\prime }\right),\left(Q\right)\right)=\frac{\left|1.0+0.0+1.1\right|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}.\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Suy ra $\left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)={45}^o$.