Giải bài tập 11 trang 86

Tính góc giữa hai mặt phẳng (left( {{P_1}} right):2x + 2y - z - 1 = 0) và (left( {{P_2}} right):x - 2y - 2z + 3 = 0).

Đề bài

Tính góc giữa hai mặt phẳng $(P_{1})$ và $(P_{2})$ , biết:

$(P_{1}) : 2 x + 2 y - z - 1 = 0$ và $(P_{2}) : x - 2 y - 2 z + 3 = 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về côsin góc giữa hai mặt phẳng để tính: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P_{1})$ , $(P_{2})$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (A_{1}; B_{1}; C_{1})$ , $\vec{n_{2}} = (A_{2}; B_{2}; C_{2})$ . Khi đó, ta có: $\cos ((P_{1}), (P_{2})) = \frac{| A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} + C_{1} C_{2} |}{\sqrt{A_{1}^{2} + B_{1}^{2} + C_{1}^{2}} . \sqrt{A_{2}^{2} + B_{2}^{2} + C_{2}^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng $(P_{1})$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{1}} = (2; 2; - 1)$ ; mặt phẳng $(P_{2})$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{2}} = (1; - 2; - 2)$ .

Do đó, $\cos ((P_{1}), (P_{2})) = \frac{| 2.1 + 2 (- 2) - 1. (- 2) |}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}} \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{2}}} = 0$ nên $((P_{1}), (P_{2})) = 90^{o}$ .