Giải bài tập 12 trang 38

Đề bài

Cho hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy, I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Tìm điểm B đối xứng với A qua I. Chứng minh rằng điểm B cũng thuộc đồ thị hàm số này.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D=R\setminus \left\{1\right\}$

• Chiều biến thiên:

$y^{\prime }=\frac{-3}{{(x-1)}^2}\le 0\forall x\in D$nên hàm số nghịch biến trên D

• Tiệm cận:

$\underset{x\to +\infty }{lim}y=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{2x+1}{x-1}=21;\underset{x\to -\infty }{lim}y=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{2x+1}{x-1}=2$ nên y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$\underset{x\to 1^{+}}{lim}y=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{2x+1}{x-1}=+\infty ;\underset{x\to 1^{-}}{lim}y=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{2x+1}{x-1}=-\infty$ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

• Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = -1 nên (0; -1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: $y=0\iff \frac{2x+1}{x-1}=0\iff x=-\frac{1}{2}$

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm ($-\frac{1}{2}$; 0)

b) Ta có A(0; -1) và I(1; 2)

B là điểm đối xứng với A qua I nên I là trung điểm AB => B(2;5)

Lại có: $y\left(2\right)=\frac{2.2+1}{2-1}=5$ nên B(2;5) cũng thuộc đồ thị hàm số