Giải bài tập 12 trang 38

Cho hàm số (y = frac{{2x + 1}}{{x - 1}}) a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. b) Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy, I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Tìm điểm B đối xứng với A qua I. Chứng minh rằng điểm B cũng thuộc đồ thị hàm số này.

Đề bài

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ .

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy, I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Tìm điểm B đối xứng với A qua I. Chứng minh rằng điểm B cũng thuộc đồ thị hàm số này.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số.

− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu của hàm số.

− Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số.

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số.

− Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ.

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

b) A và B đối xứng qua I thì I là trung điểm AB. Áp dụng công thức tính tọa độ trung điểm để tìm tọa độ của B.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D = R ∖ {1}$

Chiều biến thiên:

$y^{'} = \frac{- 3}{{(x - 1)}^{2}} \leq 0 \forall x \in D$ nên hàm số nghịch biến trên D

Tiệm cận:

$lim_{x \to + \infty} y = lim_{x \to + \infty} \frac{2 x + 1}{x - 1} = 21; lim_{x \to - \infty} y = lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 1}{x - 1} = 2$ nên y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$lim_{x \to 1^{+}} y = lim_{x \to 1^{+}} \frac{2 x + 1}{x - 1} = + \infty; lim_{x \to 1^{-}} y = lim_{x \to 1^{-}} \frac{2 x + 1}{x - 1} = - \infty$ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = -1 nên (0; -1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: $y = 0 \Leftrightarrow \frac{2 x + 1}{x - 1} = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}$

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm ( $- \frac{1}{2}$ ; 0)

b) Ta có A(0; -1) và I(1; 2)

B là điểm đối xứng với A qua I nên I là trung điểm AB => B(2;5)

Lại có: $y (2) = \frac{2.2 + 1}{2 - 1} = 5$ nên B(2;5) cũng thuộc đồ thị hàm số