Giải bài tập 12 trang 60

Trong không gian (Oxyz), cho hình lăng trụ đứng (OBC.O'B'C') có đáy là tam giác (OBC) vuông tại (O). Cho biết (Bleft( {3;0;0} right)), (Cleft( {0;1;0} right)), (O'left( {0;0;2} right)). Tính góc giữa: a) hai đường thẳng (BO') và (B'C). b) hai mặt phẳng (left( {O'BC} right)) và (left( {OBC} right)).

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứng OBC.O'B'C' có đáy là tam giác OBC vuông tại O. Cho biết B(3;0;0), C(0;1;0), O'(0;0;2). Tính góc giữa:

a) Hai đường thẳng BO' và B'C.

b) Hai mặt phẳng (O'BC) và (OBC).

c) Đường thẳng B'C và mặt phẳng (O'BC).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chỉ ra $\vec{B O^{'}}$ và $\vec{B^{'} C}$ lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng $B O^{'}$ và $B^{'} C$ , sau đó sử dụng công thức $\cos (B O^{'}, B^{'} C) = | \cos ({\vec{B O}}^{'}, \vec{B^{'} C}) |$ .

b) Với mặt phẳng $(O^{'} B C)$ , ta cần chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương, rồi tính tích có hướng để lần lượt tìm ra vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ .

Với mặt phẳng $(O B C)$ , chỉ ra rằng $\vec{O O^{'}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

Từ đó suy ra $\cos ((O^{'} B C), (O B C)) = | \cos (\vec{O O^{'}}, \vec{n}) |$ .

c) Từ câu a và b, ta có $\vec{B^{'} C}$ là một vectơ chỉ phương của $B^{'} C$ , $\vec{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(O^{'} B C)$ . Suy ra $\sin (B^{'} C, (O^{'} B C)) = | \cos (\vec{B^{'} C}, \vec{n}) |$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có toạ độ các điểm $O (0; 0; 0)$ , $B (3; 0; 0)$ , $C (0; 1; 0)$ , $O^{'} (0; 0; 2)$ . Suy ra $B^{'} (3; 0; 2)$ .

Ta có $\vec{B O^{'}} = (- 3; 0; 2)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $B O^{'}$ và $\vec{B^{'} C} = (- 3; 1; - 2)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $B^{'} C$ . Suy ra:

$\cos (B O^{'}, B^{'} C) = | \cos ({\vec{B O}}^{'}, \vec{B^{'} C}) |$

$= \frac{| (- 3) . (- 3) + 0.1 + 2. (- 2) |}{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 0^{2} + 2^{2}} . \sqrt{{(- 3)}^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{182}}$ .

Từ đó $(B O^{'}, B^{'} C) \approx 68^{o} 15^{'}$ .

b) Mặt phẳng $(O^{'} B C)$ có cặp vectơ chỉ phương là $\vec{B C} = (- 3; 1; 0)$ và $\vec{B O^{'}} = (- 3; 0; 2)$ . Suy ra một vectơ pháp tuyến của $(O^{'} B C)$ là $\vec{n} = [\vec{B C}, \vec{B O^{'}}] = (2; 6; 3)$ .

Mặt phẳng $(O B C)$ có $O O^{'} ⊥ (O B C)$ nên $\vec{O O^{'}} = (0; 0; 2)$ là một vectơ pháp tuyến của $(O B C)$ .

Suy ra $\cos ((O^{'} B C), (O B C)) = | \cos (\vec{O O^{'}}, \vec{n}) |$

$= \frac{| 2.0 + 6.0 + 3.2 |}{\sqrt{2^{2} + 6^{2} + 3^{2}} . \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 2^{2}}} = \frac{3}{7}$ .

Vậy $((O^{'} B C), (O B C)) \approx 64^{o} 37^{'}$ .

c) Ta có $\vec{B^{'} C} = (- 3; 1; - 2)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $B^{'} C$ .

Ta có $\vec{n} = (2; 6; 3)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(O^{'} B C)$ . Suy ra

$\sin (B^{'} C, (O^{'} B C)) = | \cos (\vec{B^{'} C}, \vec{n}) |$

$= \frac{| (- 3) .2 + 1.6 + (- 2) .3 |}{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2}} . \sqrt{2^{2} + 6^{2} + 3^{2}}} = \frac{3 \sqrt{14}}{49}$ .

Vậy $(B^{'} C, (O^{'} B C)) \approx 13^{o} 15^{'}$ .