Giải bài tập 12 trang 67

Đề bài

Cho bốn điểm $A\left(1;0;0\right)$, $B\left(0;1;0\right)$, $C\left(0;0;1\right)$, $D\left(-2;1;-1\right)$.

a) Chứng minh $A$, $B$, $C$, $D$ là bốn đỉnh của một hình chóp.

b) Tìm góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$.

c) Tính độ dài đường cao của hình chóp $A.BCD$.

Lời giải chi tiết

a) Mặt phẳng $\left(BCD\right)$ đi qua $B\left(0;1;0\right)$, $C\left(0;0;1\right)$, $D\left(-2;1;-1\right)$ nên nó có một cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{BC}=\left(0;-1;1\right)$ và $\overrightarrow{BD}=\left(-2;0;-1\right)$. Vậy một vectơ pháp tuyến của $\left(BCD\right)$ là $\vec{n}=\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD}\right]=\left(1;-2;-2\right)$. Suy ra phương trình mặt phẳng $\left(BCD\right)$ là $1\left(x-0\right)-2\left(y-0\right)-2\left(z-1\right)=0$, hay $x-2y-2z+2=0$.

Thay toạ độ điểm $A$ vào phương trình mặt phẳng $\left(BCD\right)$, ta thấy không thoả mãn, do $1-2.0-2.0+2=3\ne 0$.

Vậy $A$ không thuộc $\left(BCD\right)$, suy ra $A$, $B$, $C$, $D$ không đồng phẳng. Điều này cũng có nghĩa 4 điểm trên là 4 đỉnh của một hình chóp.

b) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-1;1;0\right)$ và $\overrightarrow{CD}=\left(-2;1;-2\right)$ lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng $AB$ và $CD$.

Ta có $\cos \left(AB,CD\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)\right|$

$=\frac{\left|\left(-1\right).\left(-2\right)+1.1+0.\left(-2\right)\right|}{\sqrt{{\left(-1\right)}^2+1^2+0^2}.\sqrt{{\left(-2\right)}^2+1^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Suy ra $\left(AB,CD\right)={45}^o$.

c) Ta có độ dài đường cao của hình chóp $A.BCD$ chính là khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left(BCD\right)$. Khoảng cách đó bằng:

$d\left(A,\left(BCD\right)\right)=\frac{\left|1-2.0-2.0+2\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}}=1$.