Giải bài tập 12 trang 81

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AA’ và CC’. Tính góc giữa hai vecto $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$.

Lời giải chi tiết

Đặt $A\equiv O(0;0;0)$.

Ta có: $D^{\prime }(0;a;a)$; $M(0;0;-\frac{a}{2})$; $N(a;a;-\frac{a}{2})$.

$\overrightarrow{MN}=(a;a;0)$;$\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(0;a;a)$.

$\cos (\overrightarrow{MN},\overrightarrow{A{D}^{\prime }})=\frac{\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{A{D}^{\prime }}}{\left|\overrightarrow{MN}\right|.\left|\overrightarrow{A{D}^{\prime }}\right|}$

$=\frac{a.a}{\sqrt{a^2+a^2}.\sqrt{a^2+a^2}}=\frac{a^2}{2a^2}=\frac{1}{2}$.

$\Rightarrow (\overrightarrow{MN},\overrightarrow{A{D}^{\prime }})={60}^{\circ }$.