Giải bài tập 13 trang 38

Cho hàm số (y = frac{{{x^2} + 4x - 1}}{{x - 1}}) a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [2; 4].

Đề bài

Cho hàm số $y = \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1}$ .

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [2; 4].

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số.

− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số.

− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ.

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

b) Lập bảng biến thiên và quan sát.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D = R ∖ {1}$

Chiều biến thiên:

$y^{'} = \frac{x^{2} - 2 x - 3}{{(x - 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 3 \end{array}$

Trên các khoảng ( $- \infty$ ; -1), (3; $+ \infty$ ) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (-1; 3) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

Giới hạn và tiệm cận:

$lim_{x \to + \infty} y = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1} = + \infty; lim_{x \to - \infty} y = lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1} = - \infty$

$a = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x^{2} - x} = 1; b = lim_{x \to + \infty} (\frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1} - x) = 5$ nên y = x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

$lim_{x \to 1^{+}} y = lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1} = + \infty; lim_{x \to 1^{-}} y = lim_{x \to 1^{-}} \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1} = - \infty$ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Bảng biến thiên:

Ta có: $y = 0 \Leftrightarrow \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 - \sqrt{5} \\ x = - 2 + \sqrt{5} \end{array}$

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm ( $- 2 - \sqrt{5}$ ; 0) và ( $- 2 + \sqrt{5}$ ; 0)

b) Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $min_{[2; 4]} y = y (3) = 10$ và $max_{[2; 4]} y = y (2) = 11$