Giải bài tập 13 trang 46

Đề bài

Có hai xã cùng ở một bên bờ sông Lam. Người ta đo được khoảng cách từ trung tâm A, B của hai xã đó đến bờ sông lần lượt là $A A^{'} = 500$ m, $B B^{'} = 600$ m và $A^{'} B^{'} = 2 200$ m (Hình 37). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Lam cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí M của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn $A^{'} B^{'}$ sao cho tổng khoảng cách từ hai vị trí A, B đến vị trí M là nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Phân tích đề bài.

- Tìm mối liên hệ trong bài.

Lời giải chi tiết

Đặt A'M = x (m).

Suy ra B'M = A'B' – A'M = 2200 – x (m).

Rõ ràng, x phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < 2200.

Áp dụng định lí Pythagore ta tính được:

$A M = \sqrt{A^{'} A^{2} + A^{'} M^{2}} = \sqrt{500^{2} + x^{2}}$ (m)

$B M = \sqrt{B^{'} B^{2} + B^{'} M^{2}} = \sqrt{600^{2} + {(2200 - x)}^{2}}$ (m)

Tổng khoảng cách từ hai vị trí A, B đến vị trí M là

$D = A M + B M = \sqrt{500^{2} + x^{2}} + \sqrt{600^{2} + {(2200 - x)}^{2}}$ (m)

Xét hàm số $D (x) = \sqrt{500^{2} + x^{2}} + \sqrt{600^{2} + (2200 - x^{2})}$ với $x \in (0; 2200)$ .

$D^{'} (x) = \frac{2 x}{2 \sqrt{500^{2} + x^{2}}} + \frac{2 x - 4400}{\sqrt{600^{2} + {(2200 - x)}^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{500^{2} + x^{2}}} + \frac{x - 2200}{\sqrt{600^{2} + {(2200 - x)}^{2}}}$ .

Trên khoảng (0;2200), ta thấy D'(x) = 0 khi x = 1000.

Bảng biến thiên của hàm số D(x) như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số D(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng $1100 \sqrt{5}$ tại x = 1 000.

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách cần tìm là $1100 \sqrt{5}$ m.