Giải bài tập 13 trang 67

Đề bài

Cho bốn điểm $A (- 2; 6; 3)$ , $B (1; 0; 6)$ , $C (0; 2; - 1)$ , $D (1; 4; 0)$ .

a) Viết phương trình mặt phẳng $(B C D)$ . Suy ra $A B C D$ là một tứ diện.

b) Tính chiều cao $A H$ của tứ diện $A B C D$ .

c) Viết phương trình mặt phẳng $(α)$ chứa $A B$ và song song với $C D$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Mặt phẳng $(B C D)$ đi qua ba điểm $B$ , $C$ , $D$ nên sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là $\vec{B C}$ và $\vec{B D}$ . Suy ra một vectơ pháp tuyến của $(B C D)$ là $\vec{n} = [\vec{B C}, \vec{B D}]$ . Từ đó viết phương trình mặt phẳng $(B C D)$ .

Để chứng minh $A B C D$ là một tứ diện, cần chỉ ra điểm $A$ không nằm trên $(B C D)$ .

b) Chiều cao $A H$ của tứ diện $A B C D$ chính là khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(B C D)$ . Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng để tính khoảng cách đó.

c) Mặt phẳng $(α)$ chứa $A B$ và song song với $C D$ nên nó sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ . Suy ra một vectơ pháp tuyến của $(α)$ là $\vec{n_{1}} = [\vec{A B}, \vec{C D}]$ . Từ đó viết phương trình mặt phẳng $(α)$ .

Lời giải chi tiết

a) Mặt phẳng $(B C D)$ đi qua ba điểm $B (1; 0; 6)$ , $C (0; 2; - 1)$ , $D (1; 4; 0)$ nên sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là $\vec{B C} = (- 1; 2; - 7)$ và $\vec{B D} = (0; 4; - 6)$ . Suy ra một vectơ pháp tuyến của $(B C D)$ là $\vec{n} = [\vec{B C}, \vec{B D}] = (16; - 6; - 4)$ .

Vậy phương trình mặt phẳng $(B C D)$ là $16 (x - 0) - 6 (y - 2) - 4 (z + 1) = 0$ , hay $8 x - 3 y - 2 z + 4 = 0$ .

Thay toạ độ điểm $A (- 2; 6; 3)$ vào phương trình mặt phẳng $(B C D)$ , ta thấy không thoả mãn, do $8. (- 2) - 3.6 - 2.3 + 4 = - 36 \neq 0$ . Vậy điểm $A$ không nằm trên $(B C D)$ , điều đó đồng nghĩa $A B C D$ là một tứ diện.

b) Chiều cao $A H$ của tứ diện $A B C D$ chính là khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(B C D)$ , khoảng cách đó bằng $d (A, (B C D)) = \frac{| 8. (- 2) - 3.6 - 2.3 + 4 |}{\sqrt{8^{2} + {(- 3)}^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{36}{\sqrt{77}}$

c) Mặt phẳng $(α)$ chứa $A B$ và song song với $C D$ nên nó sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là $\vec{A B} = (3; - 6; 3)$ và $\vec{C D} = (1; 2; 1)$ . Suy ra một vectơ pháp tuyến của $(α)$ là $\vec{n_{1}} = [\vec{A B}, \vec{C D}] = (- 12; 0; 12)$ . Vậy phương trình mặt phẳng $(α)$ là $- 12 (x - 1) + 0 (y - 0) + 12 (z - 6) = 0$ , hay $- x + z - 5 = 0$ .