Giải bài tập 14 trang 23

Cho phương trình (2{x^2} - 7x + 6 = 0). Gọi ({x_1},{x_2}) là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức: A = (left( {{x_1} + 2{x_2}} right)left( {{x_2} + 2{x_1}} right) - {x_1}^2{x_2}^2)

Đề bài

Cho phương trình $2 x^{2} - 7 x + 6 = 0$ . Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức:

A = $(x_{1} + 2 x_{2}) (x_{2} + 2 x_{1}) - {x_{1}}^{2} {x_{2}}^{2}$

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào: Nếu phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thì tổng và tích của hai nghiệm đó là:

S = $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ; P = $x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a}$

Lời giải chi tiết

Phương trình $2 x^{2} - 7 x + 6 = 0$ có $Δ = (- 7)^{2} - 4.2.6 = 1 > 0$ nên nó có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ .

Theo định lí Viète, ta có:

$x_{1} + x_{2} = \frac{7}{2}$ ; $x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} = 3$

Ta có:

$\begin{array}{l} A = (x_{1} + 2 x_{2}) (x_{2} + 2 x_{1}) - {x_{1}}^{2} {x_{2}}^{2} \\ = x_{1} x_{2} + 2 {x_{1}}^{2} + 2 {x_{2}}^{2} + 4 x_{1} x_{2} - {x_{1}}^{2} {x_{2}}^{2} \\ = x_{1} x_{2} + 2 ({x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + 2 x_{1} x_{2}) - {x_{1}}^{2} {x_{2}}^{2} \\ = x_{1} x_{2} + 2 {(x_{1} + x_{2})}^{2} - {(x_{1} x_{2})}^{2} \\ = 3 + 2. {(\frac{7}{2})}^{2} - 3^{2} \\ = 3 + \frac{49}{2} - 9 \\ = \frac{37}{2} \end{array}$