Giải bài tập 14 trang 29

Đề bài

Tính đạo hàm của $F\left(x\right)=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$. Từ đó suy ra nguyên hàm của $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$.

Lời giải chi tiết

Ta có $F^{\prime }\left(x\right)={\left[\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right]}^{\prime }$

$=\frac{{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}^{\prime }}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{1+\frac{{\left(x^2+1\right)}^{\prime }}{2\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}$

$=\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right).\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}=f\left(x\right)$.

Như vậy $F\left(x\right)=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$.

Do đó $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$

$\Rightarrow \int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C$.