Giải bài tập 14 trang 65

Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(0; –2; 3). a) Tính độ dài đường cao AH hạ từ đỉnh A của tam giác OAB với O là gốc toạ độ. b) Tính diện tích tam giác OAB.

Đề bài

Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(0; –2; 3).

a) Tính độ dài đường cao AH hạ từ đỉnh A của tam giác OAB với O là gốc toạ độ.

b) Tính diện tích tam giác OAB.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Rightarrow \vec{a} . \vec{b} = 0$ . Công thức tính độ lớn vecto: $| \vec{a} | = \sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2}}$

b) $S_{O A B} = \frac{1}{2} A H . O B = \frac{1}{2} | \vec{A H} | . | \vec{O B} |$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\vec{O B} = (0; - 2; 3)$

Gọi H(x;y;z) là chân đường cao kẻ từ A của tam giác OAB

=> $\vec{O H} = (x; y; z)$

$\vec{O H}$ cùng phương với $\vec{O B}$ nên $x = 0; y = - 2 t; z = 3 t$ => $H (0; - 2 t; 3 t)$

Ta có: $\vec{A H} = (- 1; - 2 t - 2; 3 t + 1)$

$\vec{A H} ⊥ \vec{O B} \Leftrightarrow \vec{A H} . \vec{O B} = 0 \Leftrightarrow - 1.0 - 2. (- 2 t - 2) + 3. (3 t + 1) = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{7}{13}$

Vậy $H (0; \frac{14}{13}; \frac{- 21}{13})$

b) $\vec{A H} = (- 1; - \frac{12}{13}; - \frac{8}{13}) \Rightarrow A H = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- \frac{12}{13})}^{2} + {(- \frac{8}{13})}^{2}} = \frac{\sqrt{377}}{13}$

$\vec{O B} = (0; - 2; 3) \Rightarrow O B = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 3^{2}} = \sqrt{13}$

Diện tích tam giác OAB: $S_{O A B} = \frac{1}{2} A H . O B = \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{377}}{13} . \sqrt{13} = \frac{\sqrt{29}}{2}$