Giải bài tập 14 trang 81

Đề bài

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2;0;-3), B(0;-4;5) và C(-1;2;0).

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tính chu vi của tam giác ABC.

e) Tính $\cos \hat{B A C}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) A, B, C không thẳng hàng khi $\vec{A B} \neq k \vec{A C}$ .

b) Tứ giác ABCD là hình bình hành khi có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

c) Cho tam giác ABC có $A (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ , $B (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ , $C (c_{1}; c_{2}; c_{3})$ , ta có $G (\frac{a_{1} + b_{1} + c_{1}}{3}; \frac{a_{2} + b_{2} + c_{2}}{3}; \frac{a_{3} + b_{3} + c_{3}}{3})$ là trọng tâm của tam giác ABC.

d) Chu vi tam giác bằng tổng độ dài 3 cạnh.

e) $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |}$ .

Lời giải chi tiết

a) $\vec{A B} = (- 2; - 4; 8)$ ; $\vec{A C} = (- 3; 2; 3)$ .

Ta có: $\vec{A B} \neq k \vec{A C} \Rightarrow$ A, B, C không thẳng hàng.

b) Để ABCD là hình bình hành thì $\vec{A B} = \vec{D C}$ .

Gọi $D (a; b; c) \Rightarrow \vec{D C} = (- 1 - a; 2 - b; - c)$ .

$\vec{A B} = \vec{D C} \Leftrightarrow (- 2; - 4; 8) = (- 1 - a; 2 - b; - c)$

$\Leftrightarrow a = 2; b = 0; c = - 3 \Rightarrow D (1; 6; - 8)$ .

c) $G (\frac{1}{3}; \frac{- 2}{3}; \frac{2}{3})$ .

d) $\vec{B C} = (- 1; 6; - 5) \Rightarrow B C = \sqrt{62}$ .

$\vec{A B} = (- 2; - 4; 8) \Rightarrow A B = 2 \sqrt{21}$ .

$\vec{A C} = (- 3; 2; 3) \Rightarrow A C = \sqrt{22}$ .

Chu vi của tam giác ABC là:

AB + AC + BC = $2 \sqrt{21}$ + $\sqrt{22}$ + $\sqrt{62}$ .

e) $\cos \hat{B A C} = \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{| \vec{A B} | . | \vec{A C} |}$

$= \frac{- 2. (- 3) - 4.2 + 8.3}{\sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 4)}^{2} + 8^{2}} . \sqrt{{(- 3)}^{2} + 2^{2} + 3^{2}}} = \frac{\sqrt{462}}{42}$ .