Giải bài tập 15 trang 29

Cho (fleft( x right) = {x^2}ln x) và (gleft( x right) = xln x). Tính (f'left( x right)) và (int {gleft( x right)dx} ).

Đề bài

Cho $f (x) = x^{2} \ln x$ và $g (x) = x \ln x$ . Tính $f^{'} (x)$ và $\int g (x) d x$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng các công thức tính đạo hàm và nguyên hàm để tính $f^{'} (x)$ . Từ đó, viết biểu thức $g (x) = x \ln x$ theo $f^{'} (x)$ và tính $\int g (x) d x$ .

Lời giải chi tiết

Ta có:

$f^{'} (x) = {(x^{2} \ln x)}^{'} = 2 x \ln x + x^{2} . \frac{1}{x}$

$= 2 x \ln x + x = 2 g (x) + x$ .

Suy ra: $g (x) = \frac{1}{2} [f^{'} (x) - x]$ .

Vậy:

$\int g (x) d x = \frac{1}{2} \int [f^{'} (x) - x] d x$

$= \frac{1}{2} [f (x) - \frac{x^{2}}{2}] + C$ .

$= \frac{1}{2} (x^{2} \ln x - \frac{x^{2}}{2}) + C$ .