Giải bài tập 15 trang 29

Đề bài

Cho $f\left(x\right)=x^2\ln x$ và $g\left(x\right)=x\ln x$. Tính $f^{\prime }\left(x\right)$ và $\int g\left(x\right)dx$.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$f^{\prime }\left(x\right)={\left(x^2\ln x\right)}^{\prime }=2x\ln x+x^2.\frac{1}{x}$

$=2x\ln x+x=2g\left(x\right)+x$.

Suy ra: $g\left(x\right)=\frac{1}{2}\left[f^{\prime }\left(x\right)-x\right]$.

Vậy:

$\int g\left(x\right)dx=\frac{1}{2}\int \left[f^{\prime }\left(x\right)-x\right]dx$

$=\frac{1}{2}\left[f\left(x\right)-\frac{x^2}{2}\right]+C$.

$=\frac{1}{2}\left(x^2\ln x-\frac{x^2}{2}\right)+C$.