Giải bài tập 15 trang 37

Đề bài

Trong một nhà hàng, mỗi tuần để chế biến x phần ăn (x lấy giá trị trong khoảng từ 30 đến 120) thì chi phí trung bình (đơn vị: nghìn đồng) của một phần ăn được cho bởi công thức:

$\overline{C}\left(x\right)=2x-230+\frac{7200}{x}$

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $\overline{C}\left(x\right)$ trên [30; 120].

b) Từ kết quả trên, tìm số phần ăn sao cho chi phí trung bình của một phần ăn là thấp nhất.

Lời giải chi tiết

Tập xác định: $D=[30;120]$.

• Chiều biến thiên:

${\overline{C}}^{\prime }\left(x\right)=2-\frac{7200}{x^2}=0\iff [\begin{array}{c}x=-60\left(L\right)\\ x=60\end{array}$

Trên các khoảng (30; 60) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó. Trên khoảng (60; 120) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

• Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 60 và $y_{cd}=10$.

• Các giới hạn tại vô cực:

$\underset{x\to -\infty }{lim}\overline{C}\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{lim}(2x-230+\frac{7200}{x})=-\infty$;

$\underset{x\to +\infty }{lim}\overline{C}\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}(2x-230+\frac{7200}{x})=+\infty$.

• Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

b) Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{[30;120]}{min}\overline{C}\left(x\right)=\overline{C}\left(60\right)=10$.

Vậy để chi phí trung bình của một phần ăn là thấp nhất thì số phần ăn là 60.